A B. 4863. feladat (2017. március)

B. 4863. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle AB=BC\). A \(\displaystyle D\) pont úgy helyezkedik el a háromszög belsejében, hogy \(\displaystyle ADC\sphericalangle= 2ABC\sphericalangle\). Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle B\) pontnak az \(\displaystyle ADC\sphericalangle\) külső szögfelezőjétől való távolsága az \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle DC\) szakaszok számtani közepe.

(Kvant)

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. április 10-én LEJÁRT.

1. megoldás.

,,Szögfelezőre tükrözni kell.'' (Bohner Géza)

Legyen a körülírt kör középpontja \(\displaystyle O\), és legyen \(\displaystyle f\) az \(\displaystyle ADC\sphericalangle\) külső szögfelezője. Mivel \(\displaystyle ADC\angle=2ABC\angle=AOC\angle\), a \(\displaystyle D\) pont az \(\displaystyle AOC\) köríven van. Jól ismert, hogy az \(\displaystyle ADC\angle\) külső szögfelezője átmegy az \(\displaystyle \widehat{ADC}\) körívet felező ponton, vagyis \(\displaystyle f\) átmegy \(\displaystyle O\)-n.

Legyen \(\displaystyle B\) vetülete az \(\displaystyle f\) egyenesen \(\displaystyle T\), és legyen \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) tükörképe \(\displaystyle f\)-re \(\displaystyle A'\), illetve \(\displaystyle B'\). Mivel \(\displaystyle f\) átmegy a kör középpontján, \(\displaystyle A'\) és \(\displaystyle B'\) is a körülírt körön van. Továbbá, mivel \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle A'\) egymás tükörképei a külső szögfelezőre, \(\displaystyle DA'\) a \(\displaystyle CD\) szakasz meghosszabbítása. A \(\displaystyle T\) pont a \(\displaystyle BB'\) szakasz felezőpontja, és \(\displaystyle AA' \| BB'\).

A feltétel szerint \(\displaystyle BC=AB\), így az \(\displaystyle \widehat{AB}\) és \(\displaystyle \widehat{BC}\) körívek ugyanakkorák és azonos irányításúak. Az \(\displaystyle \widehat{AB}\) és \(\displaystyle \widehat{A'B'}\) körívek egymás \(\displaystyle f\)-re vonatkozó tükörképei, így az \(\displaystyle \widehat{AB}\) és \(\displaystyle \widehat{B'A'}\) körívek is ugyanakkorák és azonos irányításúak. Az \(\displaystyle O\) körül az \(\displaystyle AOB\sphericalangle\) szöggel elforgatva az \(\displaystyle A,B,B'\) pontokat, azok képei rendre az \(\displaystyle B,C,A'\) pontok, tehát például \(\displaystyle BB'=CA'\). Ezért

\(\displaystyle CD+AD = CD+DA' = CA' = BB' = 2BT, \)

\(\displaystyle BT = \frac{CD+AD}{2}. \)

2. megoldás. Legyen ismét \(\displaystyle O\) a körülírt kör középpontja és \(\displaystyle f\) az \(\displaystyle ADC\sphericalangle\) külső felezője, ami átmegy \(\displaystyle O\)-n, és legyen \(\displaystyle T\) a \(\displaystyle B\) pont vetülete az \(\displaystyle f\) egyenesen. Legyen \(\displaystyle r\) a körülírt kör sugara, és legyen az \(\displaystyle AOC\) körben \(\displaystyle O'\) az \(\displaystyle O\)-val átellenes pont. Ekkor \(\displaystyle AO'=CO'\).

Felhasználva az \(\displaystyle ADCO'\) és az \(\displaystyle AOCO'\) négyszögre felírt Ptolemaiosz-tételt, valamint azt, hogy az \(\displaystyle OTB\) és \(\displaystyle ODO'\) derékszögű háromszögek hasonlók:

\(\displaystyle \frac{AD + CD}{2r} = \frac{AD + CD}{AO + CO} = \frac{AD \cdot CO' + CD \cdot AO'}{AO \cdot CO' + CO \cdot AO'} = \frac{DO' \cdot AC}{OO'\cdot AC} = \frac{DO'}{OO'} = \frac{TB}{OB} = \frac{BT}{r}, \)

\(\displaystyle \frac{AD + CD}{2} = BT. \)

Statisztika:

46 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Alexy Milán, Asztalos Ádám, Baran Zsuzsanna, Beke Csongor, Borbényi Márton, Busa 423 Máté, Csahók Tímea, Döbröntei Dávid Bence, Fekete Balázs Attila, Fülöp Anna Tácia, Gáspár Attila, Győrffy Ágoston, Harsányi Benedek, Horváth Péter, Imolay András, Kerekes Anna, Kocsis Júlia, Kőrösi Ákos, Kővári Péter Viktor, Lukács Lilla Réka, Marshall Tamás, Márton Dénes, Mészáros Anna, Nagy Nándor, Németh 123 Balázs, Olosz Adél, Pap Benedek, Póta Balázs, Schrettner Jakab, Simon Dániel Gábor, Szabó 417 Dávid, Szabó Kristóf, Szécsényi Nándor, Szemerédi Levente, Tiderenczl Dániel, Velkey Vince, Weisz Máté.
4 pontot kapott:	Csiszár Zoltán, Deák Bence, Lakatos Ádám, Zólomy Kristóf.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2017. márciusi matematika feladatai