A B. 4864. feladat (2017. március)

B. 4864. Egy zsákban 100 piros és 100 kék golyó van. Addig húzzuk ki visszatevés nélkül, véletlenszerűen, egyesével a golyókat, amíg mind a 100 piros golyót ki nem húztuk. Határozzuk meg a zsákban maradt golyók számának várható értékét.

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Úgy is képzelhetjük, hogy a 100-adik piros golyó kihúzása után a bent maradt golyókat is kihúzzuk. Ekkor a feladat kérdése az, hogy mi a 100-adik piros golyó kihúzása utáni húzások számának várható értéke.

Válasszunk ki egy kék golyót. Ha csak azt nézzük, hogy a 100 piros, és a kiválasztott kék golyó közül melyiket húzzuk ki utoljára, akkor természetesen mind a 101 golyó esetén egyforma, \(\displaystyle 1/101\) az esély. Vagyis annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott kék golyót a 100 piros golyó kihúzása után húzzuk ki, \(\displaystyle 1/101\). Ez mind a 100 kék golyóról elmondható, így a 100 piros golyó kihúzása után kihúzott (kék) golyók számának várható értéke \(\displaystyle 100\cdot \frac{1}{101}=\frac{100}{101}\) (hiszen egy összeg várható értéke az összeadandók várható értékének összege).

Tehát a feladat (eredeti megfogalmazása szerinti) kérdésére a válasz: a 100-adik piros golyó kihúzása után még a zsákban maradó golyók számának várható értéke \(\displaystyle 100/101\).

Statisztika:

64 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Baran Zsuzsanna, Beke Csongor, Borbényi Márton, Busa 423 Máté, Csahók Tímea, Daróczi Sándor, Döbröntei Dávid Bence, Fitos Bence, Fuisz Gábor, Gáspár Attila, Janzer Orsolya Lili, Kálóczi Kristóf, Kerekes Anna, Kiss Gergely, Kocsis Júlia, Kovács 246 Benedek, Kovács 654 Áron , Kőrösi Ákos, Nagy Nándor, Noszály Áron, Saár Patrik, Schrettner Jakab, Sebestyén Pál Botond, Simon Dániel Gábor, Soós 314 Máté, Szabó 417 Dávid, Szabó Kristóf, Szakály Marcell, Szemerédi Levente, Tóth 827 Balázs, Tóth Viktor, Török Tímea, Várkonyi Dorka, Weisz Máté, Zólomy Kristóf.
4 pontot kapott:	Asztalos Ádám, Bán Dániel, Deák Bence, Kővári Péter Viktor, Mikulás Zsófia, Vári-Kakas Andor, Varsányi András, Velkey Vince.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.

A KöMaL 2017. márciusi matematika feladatai