A B. 4873. feladat (2017. április)

B. 4873. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle AB=1\), \(\displaystyle BAC\sphericalangle =135^{\circ}\), \(\displaystyle ABC\sphericalangle=30^{\circ}\). Mekkora annak a parabolának a paramétere, amelynek tengelye az \(\displaystyle AB\) egyenes, továbbá érinti az \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BC\) egyeneseket?

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a koordinátarendszer origója \(\displaystyle B\), az \(\displaystyle y\)-tengely pedig az \(\displaystyle AB\) egyenes. Az \(\displaystyle A\) pont koordinátái válaszhatók \(\displaystyle (0;-1)\)-nek. Az 1 meredekségű \(\displaystyle AC\) egyenes egyenlete \(\displaystyle y=x-1\), a \(\displaystyle \tg 60^{\circ} = \sqrt{3}\) meredekségű \(\displaystyle BC\) egyenes egyenlete pedig \(\displaystyle y=\sqrt{3}x\). Ha a keresett parabola egyenlete

\(\displaystyle y=-\dfrac{1}{2p}x^2 + a, \)

akkor a \(\displaystyle -\dfrac{1}{2p}x^2 + a = x-1\) és a \(\displaystyle -\dfrac{1}{2p}x^2 + a = \sqrt{3}x\) egyenleteknek egyetlen megoldása van, azaz \(\displaystyle D_1= 1-4\cdot \dfrac{1}{2p}(-1-a)=0\) és \(\displaystyle D_2=3-4\cdot \dfrac{1}{2p}(-a)=0\). Ebből \(\displaystyle 0=D_1-D_2=-2 + \dfrac{2}{p}\), azaz \(\displaystyle p=1\) a parabola paramétere (és \(\displaystyle a=-1,5\)).

Statisztika:

61 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Baran Zsuzsanna, Csahók Tímea, Csiszár Zoltán, Csuha Boglárka, Daróczi Sándor, Döbröntei Dávid Bence, Fekete Balázs Attila, Fitos Bence, Fülöp Anna Tácia, Gáspár Attila, Geretovszky Anna, György Levente, Horváth Péter, Imolay András, Janzer Orsolya Lili, Kocsis Júlia, Kovács 654 Áron , Kővári Péter Viktor, Marshall Tamás, Mikulás Zsófia, Nagy Nándor, Noszály Áron, Olosz Adél, Páli Petra, Paulovics Péter, Póta Balázs, Richlik Róbert, Saár Patrik, Sáfi Lilla, Scheidler Barnabás, Szabó 121 Csaba, Szécsényi Nándor, Tiderenczl Dániel, Tiszay Ádám, Tóth 111 Máté , Tóth 827 Balázs, Török Tímea, Tubak Dániel, Várkonyi Dorka, Weisz Máté, Zólomy Kristóf.
4 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.

A KöMaL 2017. áprilisi matematika feladatai