A B. 4876. feladat (2017. május)

B. 4876. Melyik az a legnagyobb \(\displaystyle n\) pozitív egész szám, amelyre pontosan egy olyan \(\displaystyle k\) egész szám létezik, amelyre

\(\displaystyle \frac{10}{11}<\frac{n}{k+n}<\frac{11}{12}? \)

(3 pont)

A beküldési határidő 2017. június 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Először is megjegyezzük, hogy csak olyan \(\displaystyle k\) számra teljesülhet a feltétel, melyre \(\displaystyle k+n\) pozitív. Reciprokot véve, majd beszorzás és rendezés után azt kapjuk, hogy a

\(\displaystyle \frac{10}{11}<\frac{n}{k+n}<\frac{11}{12}\)

feltétel ekvivalens az

\(\displaystyle \frac{n}{11}<k<\frac{n}{10}\)

feltétellel. Ezért a legnagyobb olyan \(\displaystyle n\) pozitív egész számot keressük, amelyre az \(\displaystyle \left( \frac{n}{11}, \frac{n}{10} \right)\) intervallumba pontosan egy egész szám esik. Ha az intervallum hossza 2-nél nagyobb lenne, akkor legalább két egész számot tartalmazna, így biztosan

\(\displaystyle \frac{n}{10}-\frac{n}{11}\leq 2,\)

amiből \(\displaystyle n\leq 220\). Ha \(\displaystyle n=220\), akkor az \(\displaystyle \left( \frac{n}{11}, \frac{n}{10} \right)=(20,22)\) intervallum valóban csak egy egész számot tartalmaz.

Tehát a legnagyobb olyan \(\displaystyle n\) pozitív egész szám, amelyre a megadott feltétel teljesül \(\displaystyle n=220\).

Statisztika:

64 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Ardai István Tamás, Beke Csongor, Busa 423 Máté, Csahók Tímea, Csiszár Zoltán, Csuha Boglárka, Deák Bence, Fraknói Ádám, Fuisz Gábor, Füredi Erik Benjámin, Geretovszky Anna, Hervay Bence, Horváth Péter, Jánosik Áron, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Kiss Gergely, Kiss Roberta Zsófia, Kocsis Anett, Kocsis Júlia, Kőrösi Ákos, Lakatos Ádám, Márton Dénes, Mikulás Zsófia, Noszály Áron, Olosz Adél, Páli Petra, Póta Balázs, Saár Patrik, Scheidler Barnabás, Schrettner Jakab, Soós 314 Máté, Sulán Ádám, Szemerédi Levente, Szőnyi Laura, Tanács Viktória, Tiderenczl Dániel, Tiszay Ádám, Tóth-Rohonyi Iván, Török Ádám, Török Tímea, Tubak Dániel, Vári-Kakas Andor, Várkonyi Dorka, Velkey Vince, Zsigri Bálint.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2017. májusi matematika feladatai