A B. 4885. feladat (2017. szeptember)

B. 4885. Legyen \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle m\) két különböző, 14-jegyű pozitív egész szám, mindkettőben 2 darab 1-es, 2-es, 3-as, 4-es, 5-ös, 6-os és 7-es számjegyet tartalmaz (mint pl. a 22133456456717). Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle \frac km\) nem lehet egész.

(M&IQ)

(4 pont)

A beküldési határidő 2017. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A 9-cel való oszthatósági szabály szerint a \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle m\) számok 9-es maradéka ugyanannyi, mint a \(\displaystyle 2(1+2+3+4+5+6+7)=56\) szám 9-es maradéka, ami 2. Ha \(\displaystyle \frac{k}{m}=t\) egész lenne, akkor \(\displaystyle k=tm\) miatt a \(\displaystyle tm-k\) szám 9-cel osztható lenne. Mivel a \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle m\) számok 9-es maradéka 2, ezért \(\displaystyle 9|2t-2=2(t-1)\) is teljesülne, ami csak akkor áll fenn, ha a \(\displaystyle t\) szám 9-es maradéka 1. Mivel \(\displaystyle k\ne m\) és \(\displaystyle k,m\) pozitívak, ezért \(\displaystyle t=k/m\) csak olyan egész szám lehetne, ami 1-nél nagyobb, és a 9-es maradéka 1. A legkisebb ilyen szám a 10, vagyis \(\displaystyle k/m\geq 10\)-nek kellene teljesülnie, ami ellentmondás, hiszen \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle m\) egyaránt 14-jegyű számok.

Statisztika:

185 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	106 versenyző.
3 pontot kapott:	59 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2017. szeptemberi matematika feladatai