A B. 4895. feladat (2017. október)

B. 4895. Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle n-1\) és \(\displaystyle n+1\) egyaránt prímszámok, és \(\displaystyle n> 6\) egész szám, akkor \(\displaystyle n^2(n^2+16)\) osztható 720-szal.

(3 pont)

A beküldési határidő 2017. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel a 720 prímtényezős felbontása \(\displaystyle 720=2^4\cdot 3^2 \cdot 5\), ezért (a számelmélet alaptétele szerint) elegendő belátnunk, hogy \(\displaystyle n^2(n^2+16)\) osztható a \(\displaystyle 2^4,3^2,5\) számok mindegyikével. Mivel \(\displaystyle n-1\) és \(\displaystyle n+1\) prímek, továbbá \(\displaystyle n>6\), ezért \(\displaystyle n-1\) és \(\displaystyle n+1\) sem 2-vel, sem 3-mal nem oszthatók, így viszont \(\displaystyle n\)-nek mind 2-vel, mind 3-mal oszthatónak kell lennie. Mivel \(\displaystyle n\) páros, ezért \(\displaystyle 4\mid n^2\) és \(\displaystyle 4\mid n^2+16\), vagyis \(\displaystyle 2^4\mid n^2(n^2+16)\). Mivel \(\displaystyle 3\mid n\), ezért \(\displaystyle 9\mid n^2\), és így persze \(\displaystyle 9\mid n^2(n^2+16)\) is teljesül. Mivel \(\displaystyle n-1\) és \(\displaystyle n+1\) számok 5-nél nagyobb prímek, ezért az \(\displaystyle n\) szám 5-ös maradéka csak 0, 2 vagy 3 lehet. Ha \(\displaystyle 5\mid n\), akkor \(\displaystyle 5\mid n^2(n^2+16)\), sőt valójában \(\displaystyle 5^2\mid n^2(n^2+16)\) is igaz. Ha az \(\displaystyle n\) szám 5-ös maradéka 2 vagy 3, akkor az \(\displaystyle n^2\) számé 4, és így \(\displaystyle 5\mid n^2+16\), vagyis \(\displaystyle 5\mid n^2(n^2+16)\) ekkor is fennáll.

Ezzel beláttuk, hogy \(\displaystyle 2^4,3^2,5\) mind osztják az \(\displaystyle n^2(n^2+16)\) számot, ezért az valóban osztható 720-szal.

Statisztika:

221 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	199 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2017. októberi matematika feladatai