A B. 4915. feladat (2017. december)

B. 4915. Adottak az \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle A_2\), \(\displaystyle A_3\), \(\displaystyle A_4\), \(\displaystyle A_5\) és \(\displaystyle P\) általános helyzetű pontok a síkon. Jelölje \(\displaystyle k_i\) azt a számot, ahányféleképpen az \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle A_2\), \(\displaystyle A_3\), \(\displaystyle A_4\), \(\displaystyle A_5\) pontok közül kiválasztható \(\displaystyle i\) darab úgy, hogy a kiválasztott pontok konvex burka tartalmazza \(\displaystyle P\)-t. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle k_3=k_4\).

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. január 10-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat: Legyen \(\displaystyle h^{A_j}\) azon \(\displaystyle P\)-t tartalmazó háromszögek száma, amiknek nem csúcsa \(\displaystyle A_j\). Világos, hogy \(\displaystyle k_3=(h^{A_1}+\ldots+h^{A_5})/2.\) Vegyük észre, hogy \(\displaystyle h^{A_j}\) értéke \(\displaystyle 2,\) ha \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle A_j\) elhagyása után megmaradt négy pont konvex burkába esik, egyébként \(\displaystyle 0\). Így \(\displaystyle h^{A_1}+\ldots+h^{A_5}=2k_4.\) Az állítás az eddigiekből következik.

Statisztika:

91 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	69 versenyző.
4 pontot kapott:	13 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2017. decemberi matematika feladatai