A B. 4924. feladat (2018. január)

B. 4924. Tekintsük egy háromszög hozzáírt köreinek középpontjaiból a hozzájuk tartozó oldalakra bocsátott merőlegeseket. Igazoljuk, hogy ez a három egyenes egy pontban metszi egymást.

(4 pont)

A beküldési határidő 2018. február 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit.

Legyen az \(\displaystyle O\) pont a háromszög \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) oldalaira a megfelelő hozzáírt körök középpontjából bocsátott merőlegesek metszéspontja. Az \(\displaystyle A\) csúcsban meghúzott belső és külső szögfelezők merőlegesek egymásra. Ezért \(\displaystyle ε=ALF∡=RAF∡=α/2\), mert merőleges szárú szögek. Hasonlóan \(\displaystyle AMG∡=RAG∡\), amiből \(\displaystyle AMG∡=α/2=ε\). Hasonlóan \(\displaystyle CKE∡=μ=β/2\) és \(\displaystyle BKE∡=σ=γ/2\).

Emiatt a \(\displaystyle KLM\) háromszögben \(\displaystyle LKM∡=μ+σ=(β+γ)/2\). Az \(\displaystyle LMO\) háromszög egyenlő szárú, mert \(\displaystyle ALF∡=AMG∡=ε=α/2\). Ezért az \(\displaystyle OP\) egyenes (ahol \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle O\) pontból az \(\displaystyle LM\) egyenesre állított merőleges talppontja) az \(\displaystyle LOM∡\) szögfelezője. Ebből \(\displaystyle LOP∡=MOP∡=δ=90°- ε=90°- α/2\), vagyis \(\displaystyle LOM∡=2δ=180°-α=β+γ\).

Ez azt jelenti, hogy az \(\displaystyle LOM∡\) az \(\displaystyle LKM∡\) szög (ami a \(\displaystyle KLM\) háromszög köré írt körben kerületi szög) kétszerese, vagyis \(\displaystyle O\) a \(\displaystyle KLM\) háromszög köré írt körének a középpontja.

Hasonlóan látható be, hogy a háromszög \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) oldalaira a megfelelő hozzáírt körök középpontjából bocsátott merőlegesek metszéspontja, illetve az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle c\) oldalakra állított merőlegesek metszéspontja a \(\displaystyle KLM\) köré írt körének középpontja. Tehát a hozzáírt körök középpontjából a háromszög megfelelő oldalaira állított merőlegesek valóban egy pontban metszik egymást, mégpedig a hozzáírt körök középpontjai által meghatározott háromszög köré írt körének középpontjában.

Statisztika:

95 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	55 versenyző.
3 pontot kapott:	14 versenyző.
2 pontot kapott:	19 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.

A KöMaL 2018. januári matematika feladatai