A B. 4925. feladat (2018. január)

B. 4925. Igazoljuk, hogy ha az \(\displaystyle a_1;a_2;\ldots;a_{2017}\) nemnegatív valós számok átlaga 1, akkor teljesül a következő egyenlőtlenség:

\(\displaystyle \frac{a_1}{a_1^{2018} + a_2 + a_3 + \ldots +a_{2017}} + \frac{a_2}{a_2^{2018} + a_3 + a_4 + \ldots +a_{2017} + a_1} + \ldots + \)

\(\displaystyle + \frac{a_{2017}}{a_{2017}^{2018} + a_1 + a_2 + \ldots +a_{2016}} \le 1.\)

(4 pont)

A beküldési határidő 2018. február 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Először is megjegyezzük, hogy mivel a számok nemnegatívak, és van köztük pozitív (hiszen átlaguk 1), ezért az egyenlőtlenség bal oldalán szereplő kifejezés értelmes, hiszen mindegyik nevezőben legalább egy pozitív összeadandó szerepel a nemnegatív összeadandók között.

Meg fogjuk mutatni, hogy az egyenlőtlenség bal oldalán szereplő mind a 2017 összeadandó legfeljebb \(\displaystyle 1/2017\), ezzel az állítást igazoljuk.

A szimmetria miatt elegendő igazolni, hogy

\(\displaystyle \frac{a_1}{a_1^{2018}+a_2+a_3+\dots+a_{2017}}\leq \frac{1}{2017}.\)

A (pozitív) nevezőkkel szorozva:

\(\displaystyle 2017a_1\leq a_1^{2018}+a_2+a_3+\dots+a_{2017}.\)

Mindkét oldalhoz \(\displaystyle a_1\)-et adva, és felhasználva, hogy a számok átlaga 1:

\(\displaystyle 2018a_1\leq a_1^{2018}+2017.\)

2018-cal való osztás után az

\(\displaystyle a_1\leq \frac{a_1^{2018}+2017}{2018}\)

egyenlet bal oldalán az \(\displaystyle a_1^{2018},1,1,\dots,1\) (ahol 2017 darab 1-est soroltunk fel) nemnegatív számok mértani közepe áll, míg jobb oldalán ugyanezen számok számtani közepe. A számtani-mértani közepek közötti egyenlőtlenség szerint ez az egyenlőtlenség fennáll, és egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle a_1^{2018}=1\), azaz, ha \(\displaystyle a_1=1\). Mivel csak ekvivalens átalakításokat hajtottunk végre, ezzel igazoltuk, hogy a bizonyítandó egyenlőtlenség bal oldalán mind a 2017 tag értéke legfeljebb \(\displaystyle 1/2017\), így összegük valóban legfeljebb 1. Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha minden összeadandó \(\displaystyle 1/2017\), vagyis ha \(\displaystyle a_1=a_2=\dots=a_{2017}=1\).

Statisztika:

71 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	60 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2018. januári matematika feladatai