 |
A B. 4926. feladat (2018. január) |
B. 4926. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszögben a \(\displaystyle B\)-ből és \(\displaystyle C\)-ből induló magasság talppontja \(\displaystyle D\), illetve \(\displaystyle E\). Az \(\displaystyle E\) pont tükörképe az \(\displaystyle AC\) és a \(\displaystyle BC\) egyenesre \(\displaystyle S\), illetve \(\displaystyle T\). Az \(\displaystyle O\) középpontjú \(\displaystyle CST\) kör az \(\displaystyle AC\) egyenest másodszor az \(\displaystyle X\ne C\) pontban metszi. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle XO\) és \(\displaystyle DE\) egyenesek merőlegesek egymásra.
(Koreai feladat)
(5 pont)
A beküldési határidő 2018. február 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen \(\displaystyle M\) a \(\displaystyle DE\) és \(\displaystyle OX\) egyenesek metszéspontja. Azt kell igazolnunk, hogy \(\displaystyle DMX\sphericalangle=90^\circ\). Ehhez a \(\displaystyle DMX\) háromszög másik két szögének összegét fogjuk kiszámítani.
Legyen \(\displaystyle \beta=CBA\sphericalangle\). A \(\displaystyle D,E\) pontok a magasságok talppontjai, a \(\displaystyle BC\) szakasz Thalész-körén vannak, így
\(\displaystyle XDM\sphericalangle = 180^\circ-EDC\sphericalangle = CBA\sphericalangle = \beta. \)
Az \(\displaystyle OCX\) háromszögben \(\displaystyle OX=OC\) a \(\displaystyle CSTX\) kör sugarai, ezért \(\displaystyle OXC\sphericalangle = XCO\sphericalangle\). Az \(\displaystyle S\) és \(\displaystyle T\) pontok az \(\displaystyle E\) pont tükörképei, ezért a \(\displaystyle CAX\) egyenes felezi az \(\displaystyle SCE\), a \(\displaystyle CB\) egyenes pedig felezi az \(\displaystyle ECT\) szöget; továbbá \(\displaystyle CS=CE=CT\), így a \(\displaystyle CST\) körben az \(\displaystyle OC\) sugár felezi az \(\displaystyle SCT\) szöget. Végül az \(\displaystyle BCE\) derékszögű háromszögben \(\displaystyle ECB\sphericalangle=90^\circ-CBE\sphericalangle=90^\circ-\beta\). Mindezeket figyelembe véve
\(\displaystyle MXD\sphericalangle = OXC\sphericalangle = XCO\sphericalangle = SCO\sphericalangle - SCX\sphericalangle = \frac12 SCT\sphericalangle - \frac12 SCE\sphericalangle = \)
\(\displaystyle = \frac12 (SCT\sphericalangle - SCE\sphericalangle) = \frac12 ECT\sphericalangle = ECB\sphericalangle = 90^\circ-\beta. \)
A \(\displaystyle DXM\) háromszögben \(\displaystyle XDM\sphericalangle=\beta\) és \(\displaystyle MXD\sphericalangle=90^\circ-\beta\), tehát valóban \(\displaystyle DMX\sphericalangle=90^\circ\).
Megjegyzés. Érdemes megrajzolni az \(\displaystyle A\)-ból induló magasság talpponját (az ábrán \(\displaystyle F\)), és a \(\displaystyle BC\) egyenes másik, \(\displaystyle C\)-től különböző metszéspontját a \(\displaystyle CST\) körrel (\(\displaystyle Y\)). Jól ismert, hogy az \(\displaystyle F,D,S,T\) pontok egy egyenesre esnek, mert például \(\displaystyle SDA\sphericalangle = ADE\sphericalangle = CBA\sphericalangle = FDC\sphericalangle\), és ugyanígy \(\displaystyle BFT\sphericalangle=CFD\sphericalangle\). A \(\displaystyle T,E,X\) pontok, valamint ugyanígy az \(\displaystyle S,E,Y\) pontok is egy egyenesre esnek, mert \(\displaystyle STE\sphericalangle = DTE\sphericalangle = DCE\sphericalangle = SCX\sphericalangle = STX\sphericalangle\). Mivel \(\displaystyle SYX\sphericalangle = SCX\sphericalangle = SEA\sphericalangle\), az \(\displaystyle XY\) szakasz párhuzamos az \(\displaystyle AB\) oldallal.
Az \(\displaystyle AXY\) háromszög tehát középpontosan hasonló az \(\displaystyle ABC\) háromszöghöz. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög köré írt kör középpontját \(\displaystyle K\)-val jelölve, \(\displaystyle AK\|XO\), és a feladat állítása ekvivalens azzal a jól ismert ténnyel, hogy \(\displaystyle AK\perp DE\).
Statisztika:
60 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 55 versenyző. 4 pontot kapott: 1 versenyző. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2018. januári matematika feladatai