 |
A B. 4936. feladat (2018. február) |
B. 4936. Rögzítsük a \(\displaystyle k\) körben az átmérőtől különböző \(\displaystyle AB\) húrt, ennek felezőpontja legyen \(\displaystyle F\). A \(\displaystyle k\) körvonal \(\displaystyle A\)-tól és \(\displaystyle B\)-től különböző pontja legyen \(\displaystyle P\). A \(\displaystyle PF\) egyenes messe a \(\displaystyle k\) kört másodszor \(\displaystyle X\)-ben, \(\displaystyle X\) tükörképe az \(\displaystyle AB\) felezőmerőlegesére \(\displaystyle Y\). Bizonyítsuk be, hogy van a síknak egy olyan pontja, amelyen a \(\displaystyle PY\) egyenes \(\displaystyle P\) minden helyzetében átmegy.
Javasolta: Surányi László (Budapest)
(5 pont)
A beküldési határidő 2018. március 12-én LEJÁRT.
1. megoldás. Legyen a \(\displaystyle k\)-hoz \(\displaystyle A\)-ban és \(\displaystyle B\)-ben húzott érintők metszéspontja \(\displaystyle H\). Azt fogjuk megmutatni, hogy a \(\displaystyle PY\) egyenes átmegy a \(\displaystyle H\) ponton.
Legyen \(\displaystyle k\) középpontja \(\displaystyle O\), az \(\displaystyle AB\) húr felező merőlegese \(\displaystyle f\), ami átmegy az \(\displaystyle O\) és \(\displaystyle H\) pontokon. Az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontok szerepe felcserélhető, ezért feltehetjük, hogy \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle f\)-nek az \(\displaystyle A\) pontot tartalmazó oldalán van.
1. eset: \(\displaystyle P\) a \(\displaystyle k\) kör és \(\displaystyle f\) egyik metszéspontja. Ekkor \(\displaystyle X=Y\) a másik metszéspont, így a \(\displaystyle PY\) egyenes éppen \(\displaystyle f\).
2. eset: A \(\displaystyle P\) pont a \(\displaystyle k\) kör hosszabbik \(\displaystyle AB\) ívén van, és \(\displaystyle AP<BP\).
Az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle XY\) szakaszok párhuzamosak, mert mindkettő merőleges \(\displaystyle f\)-re. \(\displaystyle PXY\sphericalangle = PFA\sphericalangle = XFB\sphericalangle =AFY\sphericalangle\) miatt \(\displaystyle PFY\sphericalangle=2\cdot PXY\sphericalangle\). A kerületi és középponti szögek tétele miatt pedig \(\displaystyle POY\sphericalangle=2\cdot PXY\sphericalangle\). Tehát \(\displaystyle PFY\sphericalangle=POY\sphericalangle\), a kerületi szögek tételének megfordítása szerint a \(\displaystyle P,Y,Z,O\) pontok egy körön vannak.
Rajzoljuk meg az \(\displaystyle AFO\) kört is, ami \(\displaystyle OFA\sphericalangle=90^\circ\) miatt az \(\displaystyle OA\) szakasz Thalész-köre. Az \(\displaystyle OA\) szakasz a \(\displaystyle k\) körnek sugara, az \(\displaystyle AFO\) körnek átmérője, ezért a két kör az \(\displaystyle A\) pontban érinti egymást; az \(\displaystyle AH\) egyenes a két kör közös érintője.
A \(\displaystyle PYFO\) kör, az \(\displaystyle AFO\) kör és \(\displaystyle k\) páronként vett hatványvonalai az \(\displaystyle AH\), \(\displaystyle f\) és \(\displaystyle PY\) egyenesek; ezek egy ponton, a három kör hatványpontján mennek át. Tehát a \(\displaystyle PY\) egyenes átmegy a \(\displaystyle H\) ponton.
3. eset: A \(\displaystyle P\) pont a \(\displaystyle k\) kör rövidebbik \(\displaystyle AB\) ívén van, és \(\displaystyle AP<BP\).
A 2. esethez hasonlóan, \(\displaystyle AFP\sphericalangle = YXF\sphericalangle = FYX\sphericalangle = YFA\sphericalangle\) miatt \(\displaystyle YFP\sphericalangle = 2\cdot YXP\sphericalangle = YOP\sphericalangle\), és így a \(\displaystyle P,F,O,Y\) pontok most is egy körön vannak.
Az \(\displaystyle YPFO\) kör, az \(\displaystyle AFO\) kör és \(\displaystyle k\) páronként vett hatványvonalai az \(\displaystyle AH\), \(\displaystyle f\) és \(\displaystyle PY\) egyenesek, ezért a \(\displaystyle PY\) egyenes átmegy a \(\displaystyle H\) ponton, a másik két hatványvonal metszéspontján.
Megjegyzések. 1. Ha a \(\displaystyle P\) ponttal közelítünk az \(\displaystyle A\) vagy a \(\displaystyle B\) ponthoz, az \(\displaystyle Y\) pont is közeledni fog \(\displaystyle A\)-hoz, illetve \(\displaystyle B\)-hez. A \(\displaystyle PY\) egyenes két határhelyzete a \(\displaystyle K\)-hoz \(\displaystyle A\)-ban, illetve \(\displaystyle B\)-ben húzott érintők. Ez mutatja, hogy a lehetséges \(\displaystyle PY\) egyenesek közös pontja csak a \(\displaystyle H\) pont lehet.
2. Jól ismert a következő projektív geometriai tény: Ha a \(\displaystyle P,Q,X,H\) pontok a \(\displaystyle k\) körön fekszenek, akkor az \(\displaystyle I=PQ\cap XY\), \(\displaystyle F=PX\cap QY\) és \(\displaystyle H=PY\cap QX\) pontok mindegyike a másik két pont által meghatározott egyenes \(\displaystyle k\)-re vonatkozó pólusa. Speciálisan, a \(\displaystyle H\) pont az \(\displaystyle FI\) egyenes \(\displaystyle k\)-re vonatkozó pólusa (és az \(\displaystyle FI\) egyenes a \(\displaystyle H\) pont polárisa). Ha \(\displaystyle H\) a körön kívül helyezkedik el, és az \(\displaystyle FI\) egyenes a kört az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontokban metszi, akkor \(\displaystyle HA\) és \(\displaystyle HB\) a \(\displaystyle H\)-ból \(\displaystyle k\)-hoz húzott érintők.
A megoldás alapjául szolgáló észrevétel, hogy a \(\displaystyle PY\) egyenes átmegy \(\displaystyle H\)-n, valójában a fenti tény egy határesete: ha \(\displaystyle PQ\|XY\), akkor \(\displaystyle I\) a két egyenes ideális pontja, és \(\displaystyle F\) az \(\displaystyle AB\) szakasz felezőpontja.
A körre vonatkozó polaritásról bővebben olvashatunk például a következő cikkekben:
Kiss György: A körre vonatkozó polaritás. KöMaL, 1998. november, 450–455.
Sz. C. Havalampijev: Pólus és poláris körben. KöMaL, 1987. január, 9–15.
2. megoldás. Az egységsugarúnak tekintett \(\displaystyle k\) kört úgy helyezzük el, hogy középpontja az origó, \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) illetve \(\displaystyle F\) koordinátái rendre \(\displaystyle (-\cos\beta;\sin\beta)\), \(\displaystyle (\cos\beta;\sin\beta)\) és \(\displaystyle (0;\sin\beta)\). Jelölje \(\displaystyle P\), illetve \(\displaystyle X\) és \(\displaystyle Y\) koordinátáit rendre \(\displaystyle (x;y)\), \(\displaystyle (\cos y;\sin y)\) és \(\displaystyle (-\cos y;\sin y)\). Ekkor \(\displaystyle \sin \beta \neq 0\) és feltehető, hogy \(\displaystyle \cos x\neq 0\neq \cos y\), valamint \(\displaystyle \cos x \pm \cos y\neq 0\).
Mivel \(\displaystyle P\), \(\displaystyle F\) és \(\displaystyle X\) kollineárisak, azért
\(\displaystyle \frac{\sin x -\sin\beta}{\cos x}=\frac{\sin\beta - \sin y}{-\cos y}, \)
\(\displaystyle -\sin x\cos y+\sin\beta\cos y = \sin\beta\cos x - \cos x\sin y, \)
\(\displaystyle \sin (y-x) = \sin\beta (\cos x - \cos y). \)
Jelölje \(\displaystyle E\) a \(\displaystyle (0;\dfrac{1}{\sin\beta})\) koordinátájú pontot. (Ez éppen a kört \(\displaystyle A\)-ban és \(\displaystyle B\)-ben érintő egyenesek metszéspontja.) Megmutatjuk, hogy \(\displaystyle E\) a keresett pont. A \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Y\) és \(\displaystyle E\) pontok ugyanis pontosan akkor kollineárisak, ha
\(\displaystyle \frac{\sin x - \sin y}{\cos x + \cos y} = \frac{\sin y - \frac{1}{\sin \beta}}{-\cos y}, \)
\(\displaystyle -\sin x\cos y + \sin y \cos y = \cos x \sin y + \sin y \cos y - \frac{1}{\sin \beta} (\cos x + \cos y), \)
\(\displaystyle \sin (x+y) = \frac{1}{\sin \beta} (\cos x + \cos y). \)
Ezzel ekvivalens feltételt kapunk, ha mindkét oldalt a nullától különböző \(\displaystyle 2\sin (y-x) = 2\sin\beta (\cos x - \cos y)\)-nal megszorozzuk:
\(\displaystyle 2\sin (x+y) \sin (y-x) = 2(\cos^2 x - \cos^2 y), \)
\(\displaystyle \cos((x+y)-(y-x)) - \cos((x+y)+(y-x)) = (2\cos^2 x - 1) - (2\cos^2 y- 1), \)
\(\displaystyle \cos 2x - \cos 2y = \cos 2x - \cos 2y, \)
ami valóban igaz.
Statisztika:
48 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Argay Zsolt, Beke Csongor, Busa 423 Máté, Csépányi István, Csiszár Zoltán, Daróczi Sándor, Deák Bence, Döbröntei Dávid Bence, Fekete Richárd, Fitos Bence, Fuisz Gábor, Fülöp Anna Tácia, Füredi Erik Benjámin, Gáspár Attila, Geretovszky Anna, Győrffi Ádám György, Győrffy Ágoston, Hervay Bence, Jánosik Áron, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Kószó Máté József, Kupás Vendel Péter, Márton Dénes, Mikulás Zsófia, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy Nándor, Németh Ciprián, Pituk Gábor, Póta Balázs, Schifferer András, Schrettner Jakab, Sebestyén Pál Botond, Shuborno Das, Soós 314 Máté, Surján Anett, Szabó 417 Dávid, Szabó 997 Balázs István, Tiderenczl Dániel, Tóth Ábel, Tubak Dániel, Weisz Máté, Zsigri Bálint. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2018. februári matematika feladatai