 |
A B. 4946. feladat (2018. március) |
B. 4946. Az \(\displaystyle f(x)\) valós együtthatós polinomra igaz, hogy minden, \(\displaystyle 10\)-es számrendszerben \(\displaystyle 5\)-re vagy \(\displaystyle 8\)-ra végződő \(\displaystyle k\) pozitív egész esetén \(\displaystyle f(k)\) értéke egész szám.
\(\displaystyle a)\) Igazoljuk, hogy \(\displaystyle f(0)\) egész szám.
\(\displaystyle b)\) Mutassunk példát olyan \(\displaystyle f(x)\) polinomra, amire a fenti feltételek teljesülnek, de \(\displaystyle f(1)\) nem egész szám.
(6 pont)
A beküldési határidő 2018. április 10-én LEJÁRT.
Megoldásvázlat. (a) A feltétel miatt végtelen sok olyan egész hely van, ahol \(\displaystyle f\) értéke egész; néhány ilyenre polinomot illesztve látjuk, hogy \(\displaystyle f(x)\) racionális együtthatós. Az együtthatók nevezőinek egy \(\displaystyle m\) közös többszörősét véve, az \(\displaystyle m\cdot f(x)\) polinom egész együtthatós.
Azt állítjuk, hogy léteznek olyan \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) pozitív egészek, amelyekre a következő tulajdonságok teljesülnek:
(1) \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) relatív prímek;
(2) \(\displaystyle a\) utolsó számjegye \(\displaystyle 8\), \(\displaystyle b\) utolsó számjegye \(\displaystyle 5\);
(3) \(\displaystyle ab\) osztható \(\displaystyle m\)-mel.
Az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) előállításához bontsuk fel \(\displaystyle m\)-et egy \(\displaystyle 2\)-hatvány és egy páratlan szám szorzatára: legyen \(\displaystyle m=2^cp\). Ezek után legyen \(\displaystyle a\) egy \(\displaystyle 2^c\)-nél nem kisebb, \(\displaystyle 2^{4k+3}\) alakú szám (az ilyenek utolsó jegye \(\displaystyle 8\)), illetve legyen \(\displaystyle b=5p\). A \(\displaystyle p\) páratlan, így \(\displaystyle b\) utolsó jegye \(\displaystyle 5\). Mivel \(\displaystyle 2^c\,\big|\,a\) és \(\displaystyle p\,\big|\,b\), teljesül, hogy \(\displaystyle m=2^cp\,\big|\,ab\). Végül, \(\displaystyle a\) egy \(\displaystyle 2\)-hatvány, míg \(\displaystyle b\) páratlan, ezek relatív prímek.
Mostantól legyen \(\displaystyle F(x)=ab\cdot f(x) = \dfrac{ab}{m} \cdot \Big( m \cdot f(x) \Big)\); mivel \(\displaystyle \dfrac{ab}{m}\) egész, és \(\displaystyle m \cdot f(x)\) együtthatós, az \(\displaystyle F(x)\) is egész együtthatós polinom. Mint jól ismert, de a polinom kifejtéséből is ellenőrizhető, ebből következik, hogy bármely \(\displaystyle k\) egész számra \(\displaystyle F(k)\equiv F(0)\pmod{k}\).
A feltétel szerint \(\displaystyle f(a)\) és \(\displaystyle f(b)\) is egész szám, így
\(\displaystyle F(0) \equiv F(a) = ab \cdot f(a) \equiv 0 \pmod{a} \)
és
\(\displaystyle F(0) \equiv F(b) = ab \cdot f(b) \equiv 0 \pmod{b}, \)
vagyis \(\displaystyle F(0)\) osztható \(\displaystyle a\)-val és \(\displaystyle b\)-vel is. Mivel \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) relatív prímek, \(\displaystyle ab\,\big|\,F(0)\), vagyis \(\displaystyle f(0)=\dfrac{F(0)}{ab}\) egész szám.
(b) Ilyen polinom például
\(\displaystyle f(x) = \dfrac{x(x+2)}{5}. \)
Ha \(\displaystyle k\) utolsó számjegye \(\displaystyle 5\) vagy \(\displaystyle 8\), akkor \(\displaystyle k\), illetve \(\displaystyle k+2\) osztható \(\displaystyle 5\)-tel, így \(\displaystyle f(k)=\dfrac{k(k+2)}{5}\) egész szám. Ugyanakkor \(\displaystyle f(1)=\dfrac35\) nem egész.
Statisztika:
40 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Dobák Dániel, Döbröntei Dávid Bence, Gáspár Attila, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Póta Balázs, Schrettner Jakab, Szabó 417 Dávid, Szabó 991 Kornél, Weisz Máté. 5 pontot kapott: Pituk Gábor, Saár Patrik, Szabó 997 Balázs István. 4 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 23 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2018. márciusi matematika feladatai