A B. 4956. feladat (2018. április)

B. 4956. Az \(\displaystyle ABCD\) tetraédert mindegyik csúcsából lekicsinyítettük; így kaptuk az \(\displaystyle AA_bA_cA_d\), \(\displaystyle B_aBB_cB_d\), \(\displaystyle C_aC_bCC_d\) és \(\displaystyle D_aD_bD_cD\) kisebb tetraédereket, amelyek közül semelyik kettőnek nincs közös pontja. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle {A_b B_c C_d D_a}\), \(\displaystyle {A_b B_d D_c C_a}\), \(\displaystyle {A_c C_b B_d D_a}\), \(\displaystyle {A_c C_d D_b B_a}\), \(\displaystyle {A_d D_b B_c C_a}\) és \(\displaystyle {A_d D_c C_b B_a}\) tetraéderek térfogata egyenlő.

Javasolta: Kocsis Szilveszter (Budapest)

(6 pont)

A beküldési határidő 2018. május 10-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. A feladat szövegéhez hasonlóan az alsó indexekben a pontokat nagy- helyett a megfelelő kisbetűvel fogjuk jelölni.

Az objektumainkat a derékszögű koordináta-rendszerben helyezzük el, és a pontokat helyvektorként kezeljük. Ha tehát \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) két pont és \(\displaystyle 0<t<1\), akkor a \(\displaystyle PQ\) szakaszt \(\displaystyle t:(1-t)\) arányban osztó pont \(\displaystyle (1-t)\cdot P+t\cdot Q\).

Tetszőleges \(\displaystyle P,Q,R,S\) pontokra \(\displaystyle \mathcal{V}(P,Q,R,S)\)-sel fogjuk jelölni a \(\displaystyle PQRS\) tetraéder előjeles térfogatát. Jól ismert, hogy az előjeles térfogat felírható a tetraéderek élvektorainak vegyes szorzatával:

Ha valamelyik két csúcs egybeesik, akkor a tetraéder elfajul, és a térfogat \(\displaystyle 0\). Szintén jól ismert, de például az (1) képletnek is egyszerű következménye, hogy ha a csúcsok közül valamelyik kettőt felcseréljük, az előjeles térfogat előjele megfordul.

Az is könnyen ellenőrizhető, hogy tetszőleges \(\displaystyle P,Q,R,X,Y\) pontok és \(\displaystyle t\) valós szám esetén

\(\displaystyle \mathcal{V}((1-t)\cdot X+t\cdot Y,P,Q,R) = (1-t)\cdot \mathcal{V}(X,P,Q,R) + t\cdot \mathcal{V}(Y,P,Q,R), \)

\(\displaystyle \mathcal{V}(P,(1-t)\cdot X+t\cdot Y,Q,R) = (1-t)\cdot \mathcal{V}(P,X,Q,R) + t\cdot \mathcal{V}(P,Y,Q,R), \)

\(\displaystyle \mathcal{V}(P,Q,(1-t)\cdot X+t\cdot Y,R) = (1-t)\cdot \mathcal{V}(P,Q,X,R) + t\cdot \mathcal{V}(P,Q,Y,R) \)

és

Ezek után térjünk rá a feladat megoldására. Jelölje \(\displaystyle x_a\), \(\displaystyle x_b\), \(\displaystyle x_c\), illetve \(\displaystyle x_d\) azt a \(\displaystyle 0\) és \(\displaystyle 1\) közötti számot, ahányszorosára kicsinyítettük az \(\displaystyle ABCD\) tetraédert ahhoz, hogy az \(\displaystyle AA_bA_cA_d\), \(\displaystyle B_aBB_cB_d\), \(\displaystyle C_aC_bCC_d\) és \(\displaystyle D_aD_bD_cD\) tetraédereket kapjuk, vagyis legyen

\(\displaystyle x_a = \frac{AA_b}{AB} = \frac{AA_c}{AC} = \frac{AA_d}{AD}, \)

\(\displaystyle x_b = \frac{BB_a}{BA} = \frac{BB_c}{BC} = \frac{BB_d}{BD}, \)

\(\displaystyle x_c = \frac{CC_a}{CA} = \frac{CC_b}{CB} = \frac{CC_d}{CD}, \)

és

\(\displaystyle x_d = \frac{DD_a}{DA} = \frac{DD_b}{DB} = \frac{DD_c}{DC}. \)

A tetraéder bármelyik két különböző \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) éle esetén a \(\displaystyle P_q\) pont a \(\displaystyle PQ\) szakaszt \(\displaystyle x_p:(1-x_p)\) arányban osztja. A rövidebb képletek kedvéért legyen \(\displaystyle y_p=1-x_p\); ekkor tehát

\(\displaystyle P_q = (1-x_p)\cdot P + x_p\cdot Q = y_p\cdot P + x_p\cdot Q. \)

Ha \(\displaystyle P,Q,R,S\) az \(\displaystyle A,B,C,D\) pontok egy tetszőleges permutációja, akkor a (2) összefüggést többször alkalmazva,

\(\displaystyle \mathcal{V}(P_q,Q_r,R_s,S_p) =\mathcal{V}(y_p P +x_p Q,Q_r,R_s,S_p) = \)

\(\displaystyle = y_p \cdot \mathcal{V}(P,Q_r,R_s,S_p) + x_p \cdot \mathcal{V}(Q,Q_r,R_s,S_p)= \)

\(\displaystyle = y_p\big( y_q \cdot \mathcal{V}(P,Q,R_s,S_p) + x_q \cdot \mathcal{V}(P,R,R_s,S_p) \big)+ \)

\(\displaystyle \quad+\, x_p \big( y_q \cdot \underbrace{\mathcal{V}(Q,Q,R_s,S_p)}_0 + x_q \cdot \mathcal{V}(Q,R,R_s,S_p) \big)= \)

\(\displaystyle =y_py_q \cdot \big( y_r\cdot \mathcal{V}(P,Q,R,S_p) + x_r\cdot \mathcal{V}(P,Q,S,S_p) \big) + \)

\(\displaystyle \quad+\, y_px_q \cdot \big( y_r\cdot \underbrace{\mathcal{V}(P,R,R,S_p)}_0 + x_r\cdot \mathcal{V}(P,R,S,S_p) \big)+ \)

\(\displaystyle \quad+ x_px_q \cdot \big( y_r\cdot \underbrace{\mathcal{V}(Q,R,R,S_p)}_0 + x_r\cdot \mathcal{V}(Q,R,S,S_p) \big) \big)= \)

\(\displaystyle = y_py_qy_r\cdot\big( y_s\cdot \mathcal{V}(P,Q,R,S) + x_s\cdot \underbrace{\mathcal{V}(P,Q,R,P)}_0 \big) + \)

\(\displaystyle \quad+ \, y_py_qx_r\cdot\big( y_s\cdot \underbrace{\mathcal{V}(P,Q,S,S)}_0 + x_s\cdot \underbrace{\mathcal{V}(P,Q,S,P)}_0 \big) + \)

\(\displaystyle \quad+ \, y_px_qx_r\cdot\big( y_s\cdot \underbrace{\mathcal{V}(P,R,S,S)}_0 + x_s\cdot \underbrace{\mathcal{V}(P,R,S,P)}_0 \big)+ \)

\(\displaystyle \quad+ \, x_px_qx_r\cdot\big( y_s\cdot \underbrace{\mathcal{V}(Q,R,S,S)}_0 + x_s\cdot \mathcal{V}(Q,R,S,P) \big)= \)

\(\displaystyle = y_py_qy_ry_s\cdot \mathcal{V}(P,Q,R,S) + x_px_qx_rx_s\cdot \mathcal{V}(Q,R,S,P). \)

A \(\displaystyle P,Q,R,S\) csúcsok az \(\displaystyle A,B,C,D\) egy permutációja, tehát \(\displaystyle x_px_qx_rx_s=x_ax_bx_cx_d\) és \(\displaystyle y_py_qy_ry_s=y_ay_by_cy_d\), valamint \(\displaystyle \mathcal{V}(P,Q,R,S)=\pm \mathcal{V}(A,B,C,D)\). A \(\displaystyle P,Q,R,S\) és \(\displaystyle Q,R,S,P\) permutációk három (páratlan számú) cserével vihetők át egymásba (\(\displaystyle PQRS\rightarrow QPRS\rightarrow QRPS\rightarrow QRSP\)) ezért \(\displaystyle \mathcal{V}(P,Q,R,S)\) és \(\displaystyle \mathcal{V}(Q,R,S,P)\) egymás ellentettjei. A \(\displaystyle P_q,Q_r,R_s,S_p\) tetraéder előjel nélküli térfogata tehát

\(\displaystyle \big|\mathcal{V}(P_q,Q_r,R_s,S_p)\big| = \Big| y_py_qy_ry_s\cdot \mathcal{V}(P,Q,R,S) + x_px_qx_rx_s\cdot \mathcal{V}(Q,R,S,P) \Big|= \)

\(\displaystyle = \Big| y_ay_by_cy_d\cdot \mathcal{V}(P,Q,R,S) - x_ax_bx_cx_d\cdot \mathcal{V}(P,Q,R,S) \Big| = \)

\(\displaystyle = \big|y_ay_by_cy_d-x_ax_bx_cx_d\big| \cdot \big|\mathcal{V}(P,Q,R,S)\big|= \)

\(\displaystyle = \big|y_ay_by_cy_d-x_ax_bx_cx_d\big| \cdot \big|\mathcal{V}(A,B,C,D)\big|. \)

A kapott (2) képlet nem függ \(\displaystyle P,Q,R,S\) pontok sorrendjétől, tehát a \(\displaystyle {A_b B_c C_d D_a}\), \(\displaystyle {A_b B_d D_c C_a}\), \(\displaystyle {A_c C_b B_d D_a}\), \(\displaystyle {A_c C_d D_b B_a}\), \(\displaystyle {A_d D_b B_c C_a}\) és \(\displaystyle {A_d D_c C_b B_a}\) tetraéderek mindegyikének ekkora a térfogata.

Statisztika:

13 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Beke Csongor, Daróczi Sándor, Dobák Dániel, Gáspár Attila, Kerekes Anna, Pituk Gábor, Schrettner Jakab, Szabó 417 Dávid, Szécsényi Nándor, Weisz Máté.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2018. áprilisi matematika feladatai