A B. 4975. feladat (2018. október)

B. 4975. Adott négy, páronként különböző egyenes: \(\displaystyle e\parallel f\) és \(\displaystyle g\parallel h\), valamint egy \(\displaystyle P\) pont. Szerkesszünk olyan \(\displaystyle P\)-re illeszkedő egyenest, amely az \(\displaystyle e\), \(\displaystyle f\), \(\displaystyle g\) és \(\displaystyle h\) egyeneseket rendre olyan \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\), \(\displaystyle G\) és \(\displaystyle H\) pontokban metszi, amelyekre \(\displaystyle EF=GH\).

(3 pont)

A beküldési határidő 2018. november 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Előrebocsájtunk egy hasznos észrevételt: tegyük fel, hogy \(\displaystyle \ell\) olyan egyenes, amely az \(\displaystyle e\), \(\displaystyle f\), \(\displaystyle g\) és \(\displaystyle h\) egyeneseket rendre olyan \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\), \(\displaystyle G\) és \(\displaystyle H\) pontokban metszi, amelyekre \(\displaystyle EF\)=\(\displaystyle GH\); továbbá legyen \(\displaystyle \ell' \parallel \ell\) tetszőleges egyenes, amely az \(\displaystyle e\), \(\displaystyle f\), \(\displaystyle g\) és \(\displaystyle h\) egyeneseket rendre az \(\displaystyle E'\), \(\displaystyle F'\), \(\displaystyle G'\) és \(\displaystyle H'\) pontokban metszi. Mivel szemközti oldalai párhuzamosak, így \(\displaystyle EFF'E'\) paralelogramma, s hasonlóképp a \(\displaystyle GHH'G'\) négyszög is. Ebből \(\displaystyle E'F'=EF=GH=G'H'\), vagyis \(\displaystyle \ell'\) az \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle f\), valamint \(\displaystyle g\) és \(\displaystyle h\) által határolt sávokat egyforma hosszú szakaszokban metszi (csakúgy, mint \(\displaystyle \ell\)).

Tegyük fel, hogy \(\displaystyle f\) nem párhuzamos \(\displaystyle g\)-vel. Ekkor az \(\displaystyle e\), \(\displaystyle f\), \(\displaystyle g\) és \(\displaystyle h\) egyenesek egy nem elfajuló paralelogrammát határoznak meg, ennek csúcsait jelölje \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) az ábra szerint. Legyen \(\displaystyle \ell\) egy megoldása a feladatnak, amely így nem lehet párhuzamos \(\displaystyle e\), \(\displaystyle f\), \(\displaystyle g\) és \(\displaystyle h\) egyikével sem. Húzzunk \(\displaystyle \ell'\) párhuzamost \(\displaystyle A\)-n keresztül \(\displaystyle \ell\)-el, ez messe az \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle g\) egyeneseket az \(\displaystyle E'\) és \(\displaystyle G'\) pontokban. Az észrevételünk miatt \(\displaystyle AE'=AG'\) teljesül, így két eset lehetséges: vagy \(\displaystyle E'=G'\), vagy \(\displaystyle A\) az \(\displaystyle E'G'\) szakasz felezőpontja. Ha \(\displaystyle E'=G'\), akkor \(\displaystyle E'\in e\) és \(\displaystyle G'\in g\) miatt \(\displaystyle E'=G'=C=e\cap g\), és \(\displaystyle \ell'=AC\). Ha \(\displaystyle A\) az \(\displaystyle E'G'\) felezőpontja, akkor \(\displaystyle E'G'C\) háromszögben \(\displaystyle AB\) középvonal, mert \(\displaystyle A\) oldalfelezőpont, és \(\displaystyle AB\parallel CE'\), így \(\displaystyle B\) is felezi \(\displaystyle G'C\)-t. Hasonlóan \(\displaystyle D\) is felezi \(\displaystyle E'C\)-t, s így \(\displaystyle BD\) átló is középvonal, ezért \(\displaystyle BD\parallel E'G'=\ell'\parallel \ell\). Mindkét esetben azt kaptuk, hogy \(\displaystyle \ell\) párhuzamos \(\displaystyle ABCD\) valamelyik átlójával.

A fentiek alapján a szerkesztés menete: szerkesszünk \(\displaystyle P\)-n keresztül párhuzamost az \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BD\) átlókkal. Ezek adják a keresett egyeneseket.

A szerkesztés helyességének igazolása: első észrevételünkből azonnal adódik, hogy a szerkesztett egyenesek megoldásai a feladatnak, továbbá a szerkesztés menete előtt leírtakból következik, hogy más megoldás nincs.

Diszkusszió: Ha \(\displaystyle f\) nem párhuzamos \(\displaystyle g\)-vel, akkor a fenti eljárás mindig két különböző megoldást ad, ezért ekkor pontosan kettő megoldás van.

Ha \(\displaystyle f\parallel g\) és a megfelelő egyenespárok távolsága egyenlő, azaz \(\displaystyle d(e,f)=d(h,g)\), akkor nyilvánvalóan minden \(\displaystyle P\)-re illeszkedő egyenes megoldás, kivéve azt, amely párhuzamos \(\displaystyle e\)-vel. Ha \(\displaystyle f\parallel g\), de \(\displaystyle d(e,f)\neq d(h,g)\), akkor a feladatnak nincs megoldása.

Statisztika:

135 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Apagyi Dávid, Balogh Zsófia, Baski Bence, Beke Csongor, Biczó Benedek, Csaplár Viktor, Csertán András, Csiszár Zoltán, Fleiner Zsigmond, Fraknói Ádám, Füredi Erik Benjámin, Geretovszky Anna, Gyetvai Miklós, Győrffi Ádám György, Győrffy Ágoston, Győrffy Johanna, Hegedűs Dániel, Hervay Bence, Hoffmann Balázs, Horváth 127 Ádám, Horvath Csongor, Imolay Ákos, Jánosik Áron, Jánosik Máté, Kerekes Boldizsár, Kinyó Kincső, Koleszár Domonkos, Kovács 343 Botond, Kun Ágoston , Molnár Lehel, Nagy 551 Levente, Nguyen Bich Diep, Nyárfádi Patrik, Révész Máté, Sárvári Tibor, Seláf Bence, Soós 314 Máté, Szabó 417 Dávid, Terjék András József, Tiderenczl Dániel, Tóth 057 Bálint, Tóth-Rohonyi Iván, Urszuly Csenge, Vadász Anna Margit, Velich Nóra, Zheng Cheng Gong Dávid, Zsigri Bálint.
2 pontot kapott:	66 versenyző.
1 pontot kapott:	12 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	4 dolgozat.

A KöMaL 2018. októberi matematika feladatai