 |
A B. 4994. feladat (2018. december) |
B. 4994. Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) olyan valós számok, amelyekre az \(\displaystyle x^3+Ax^2+Bx+C=0\) paraméteres harmadfokú egyenletnek három különböző pozitív gyöke van, akkor \(\displaystyle A^2+B^2+18C>0\).
(Német feladat)
(4 pont)
A beküldési határidő 2019. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen az egyenlet három (különböző, valós) gyöke \(\displaystyle \alpha,\beta,\gamma\). A gyökök és együtthatók közötti összefüggések alapján:
\(\displaystyle A=-(\alpha+\beta+\gamma),\)
\(\displaystyle B=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha,\)
\(\displaystyle C=-\alpha\beta\gamma.\)
Az \(\displaystyle \alpha,\beta,\gamma\) pozitív számok különbözők, így rájuk a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség szigorúan teljesül:
| \(\displaystyle \frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}>\sqrt[3]{\alpha\beta\gamma}. \) | \(\displaystyle {(1)}\) |
Írjuk fel az \(\displaystyle \alpha\beta,\beta\gamma,\gamma\alpha\) számokra is a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséget:
| \(\displaystyle \frac{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}{3}\geq \sqrt[3]{(\alpha\beta\gamma)^2}. \) | \(\displaystyle {(2)}\) |
Bevezetve a \(\displaystyle t:=(\alpha\beta\gamma)^{1/3}>0\) jelölést az (1) és (2) egyenlőtlenségek alapján:
\(\displaystyle A^2>9t^2\)
és
\(\displaystyle B^2\geq 9t^4.\)
Így \(\displaystyle A^2+B^2+18C>9t^2+9t^4-18t^3=9t^2(t-1)^2\geq 0\), tehát a bizonyítandó egyenlőtlenség valóban teljesül.
Statisztika:
69 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 52 versenyző. 3 pontot kapott: 10 versenyző. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2018. decemberi matematika feladatai