A B. 4995. feladat (2018. december)

B. 4995. Legyenek az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű, nem egyenlő szárú háromszög \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\) és \(\displaystyle AB\) oldalainak felezőpontjai rendre \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\), a háromszög körülírt körének középpontja \(\displaystyle O\), magasságpontja \(\displaystyle M\). Az \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt köréhez az \(\displaystyle A\) pontban húzott érintő és az \(\displaystyle EF\) egyenes metszéspontja \(\displaystyle P\), a körülírt körhöz a \(\displaystyle B\) pontban húzott érintő és \(\displaystyle FD\) metszéspontja \(\displaystyle Q\). Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle PQ\) egyenes merőleges az \(\displaystyle OM\) egyenesre.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy \(\displaystyle ABC\) körülírt körének sugara \(\displaystyle 1\). Jelöljük az \(\displaystyle O\)-ból valamely pontba mutató vektort a megfelelő kisbetűvel, pl. \(\displaystyle \overrightarrow{OA}=\mathbf a\). A feltevés szerint \(\displaystyle |\mathbf a|=|\mathbf b|=|\mathbf c|=1\). A rövidebb írásmód kedvéért bevezetjük az \(\displaystyle x=\mathbf a \cdot \mathbf b\), \(\displaystyle y=\mathbf a \cdot \mathbf c\) és \(\displaystyle z=\mathbf b \cdot \mathbf c\) jelöléseket is. Itt jegyezzük meg, hogy valójában \(\displaystyle x=\cos 2\gamma\), \(\displaystyle y=\cos 2\beta\) és \(\displaystyle z=\cos 2\alpha\), ahol \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\) és \(\displaystyle \gamma\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög belső szögeit jelöli. Mivel a feltétel szerint \(\displaystyle ABC\) nem egyenlő szárú, így \(\displaystyle x\neq y\neq z \neq x\), ezt a számolás során folyamatosan használni fogjuk.

Mivel \(\displaystyle P\) illeszkedik az \(\displaystyle EF\) egyenesre, ezért valamilyen alkalmas \(\displaystyle \lambda\) valós számmal \(\displaystyle \mathbf p=\lambda \mathbf e+(1-\lambda) \mathbf f\). A felezőpontokra vonatkozó \(\displaystyle \mathbf e=(\mathbf a + \mathbf c)/2\) és \(\displaystyle \mathbf f=(\mathbf a + \mathbf b)/2\) összefüggésekből

\(\displaystyle 2\mathbf p=\mathbf a+ (1-\lambda) \mathbf b+\lambda \mathbf c.\)

Ebből \(\displaystyle 2\overrightarrow{AP}=2\mathbf p - 2\mathbf a=-\mathbf a+ (1-\lambda) \mathbf b+\lambda \mathbf c\). Mivel \(\displaystyle AP\) érinti a körülírt kört, így merőleges az \(\displaystyle OA\) sugárra, azaz \(\displaystyle \overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{OA}=0\). Ebbe behelyettesítve a fenti formulákat:

\(\displaystyle 0=(-\mathbf a+ (1-\lambda) \mathbf b+\lambda \mathbf c)\cdot \mathbf a=-1+(1-\lambda)x+\lambda y.\)

Ebből pedig

\(\displaystyle \lambda=\frac{1-x}{y-x}.\)

A fenti számításokat megismételhetjük a \(\displaystyle Q\) pontra, amiből

\(\displaystyle 2\mathbf q=(1-\mu) \mathbf a+ \mathbf b+\mu \mathbf c,\)

ahol

\(\displaystyle \mu= \frac{1-x}{z-x}.\)

Jól ismert továbbá (lásd például Reiman I.: A geometria és határterületei, 3.3 szakasz), hogy \(\displaystyle \mathbf m=\mathbf a +\mathbf b+\mathbf c\).

Az eddigiek szerint (kényelmi okokból \(\displaystyle \overrightarrow{PQ}\) helyett \(\displaystyle 2\overrightarrow{PQ}\)-val számolva):

Ebből pedig \(\displaystyle OM\perp PQ\) következik, ami éppen a bizonyítandó.

Megjegyzések.

1) Hasonlóan definiálható a \(\displaystyle C\)-ben vont érintő és a \(\displaystyle DE\) egyenes \(\displaystyle R\) metszéspontja. Az állításból következik, hogy \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\) és \(\displaystyle R\) kollineárisak.

2) Ha \(\displaystyle ABC\) egyenlő oldalú, akkor a \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\) és \(\displaystyle R\) pontok egyike sem jön létre. Ha \(\displaystyle ABC\) egyenlőszárú, de nem egyenlő oldalú, akkor a \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\) és \(\displaystyle R\) pontok közül pontosan egy nem létezik, a meglévő kettőre az állítás igaz marad.

3) A bizonyításban sehol nem használtuk ki, hogy \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű. Az állítás minden háromszögre igaz (feltéve, hogy \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) létezik, lásd 2).

Statisztika:

24 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Beke Csongor, Fekete Richárd, Füredi Erik Benjámin, Geretovszky Anna, Győrffy Ágoston, Hegedűs Dániel, Jánosik Áron, Kerekes Anna, Nagy Nándor, Pooya Esmaeil Akhoondy, Rareș Polenciuc, Szabó 417 Dávid, Tiderenczl Dániel, Várkonyi Zsombor, Velich Nóra, Vladyslav Zveryk, Weisz Máté.
4 pontot kapott:	Baski Bence, Szabó 991 Kornél.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2018. decemberi matematika feladatai