A B. 5015. feladat (2019. március)

B. 5015. Három egységsugarú kör átmegy egy közös ponton. Második metszéspontjaik \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\). Mekkora az \(\displaystyle ABC\) kör sugara?

Javasolta: Szoldatics József (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2019. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Megmutatjuk, hogy az \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt köre szintén egységnyi sugarú. Jelöljük a \(\displaystyle k_1\), \(\displaystyle k_2\), \(\displaystyle k_3\) egységsugarú körök középpontjait rendre \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\), \(\displaystyle R\)-rel, a közös metszéspontot pedig \(\displaystyle K\)-val az ábra szerint. A feladat szövege alapján a körök második metszéspontjai \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\), továbbá a \(\displaystyle KA\), \(\displaystyle KB\), \(\displaystyle KC\) szakaszok felezőpontjai \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\). Ugyanakkor ezek a szakaszok egyben a \(\displaystyle PQR\) háromszög oldalfelező merőlegeseire illeszkednek, tehát a \(\displaystyle PQR\) háromszög oldalainak felezőpontjai szintén a \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) pontok. A körök középpontjai által meghatározott \(\displaystyle PQR\) háromszög mindegyik csúcsa egységnyi távolságra van a \(\displaystyle K\) közös ponttól, ez a pont a \(\displaystyle PQR\) köré írt kör középpontja. Az oldalfelező \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\) pontok körülírt köre a \(\displaystyle PQR\) háromszög Feuerbach-köre, tehát sugara éppen fele a körülírt körnek. Ha ezt a kört a \(\displaystyle K\) pontból kétszeresére nagyítjuk, akkor az \(\displaystyle ABC\) háromszög köré írt kört kapjuk, tehát ennek sugara egységnyi.

Statisztika:

62 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	52 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2019. márciusi matematika feladatai