A B. 5022. feladat (2019. április)

B. 5022. Adott a síkon néhány egységsugarú kör, mindegyik középpontját kékre színezzük. A körvonalakon megjelölünk néhány pontot pirossal úgy, hogy minden körvonalra pontosan 2 piros pont illeszkedjen. Legfeljebb mekkora a kék pontok száma, ha összesen 25 színezett pont van?

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(3 pont)

A beküldési határidő 2019. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a piros pontok száma \(\displaystyle p\), a kék pontok (és így a szóban forgó körök) száma pedig \(\displaystyle k\). A feltétel szerint \(\displaystyle p+k=25\). Minden kék ponthoz kell lennie (pontosan egy) piros pontpárnak, melynek mindkét tagja pontosan 1 távolságra van a kék ponttól. Ugyanakkor viszont egy piros pontpár legfeljebb két kék ponthoz tartozhat: ahhoz a két ponthoz, melyek a két piros ponttól egységnyi távolságra vannak. (Ha van(nak) ilyen(ek).)

Mindezek alapján

\(\displaystyle k\leq 2\binom{p}{2},\)

ami viszont \(\displaystyle 20<k\) esetén nem teljesülhet, hiszen ekkor a \(\displaystyle 20<k\leq 2\binom{p}{2}<2\binom{5}{2}=20\) ellentmondás adódna. Ezzel beláttuk, hogy a kék pontok száma legfeljebb 20. Most megvizsgáljuk, lehet-e ennyi. Ha \(\displaystyle k=20\), akkor \(\displaystyle p=5\), és a fenti egyenlőtlenség egyenlőséggel teljesül, ami azt jelenti, hogy minden piros pontpárnak pontosan két kék ponthoz kell tartoznia, vagyis, ha a piros pontok \(\displaystyle P_1,P_2,\dots,P_5\), akkor kék pontok úgy kaphatók, hogy minden \(\displaystyle 1\leq i<j\leq 5\) esetén lennie kell \(\displaystyle K_{ij}\) és \(\displaystyle K_{ij}'\) kék pontoknak, melyek \(\displaystyle P_i\)-től és \(\displaystyle P_j\)-től is egységnyi távolságra vannak: \(\displaystyle P_iK_{ij}=P_jK_{ij}=P_iK_{ij}'=P_jK_{ij}'=1\).

Megmutatjuk, hogy ez megvalósítható. Ha a piros pontok közötti távolságok mindegyike kisebb, mint 2, akkor \(\displaystyle P_i\)-hez és \(\displaystyle P_j\)-hez választhatók megfelelő \(\displaystyle K_{ij}\) és \(\displaystyle K_{ij}'\) pontok, csak arra kell figyelnünk, hogy a kék pontok között ne legyen egybeesés. Ezt például elérhetjük úgy, hogy egy 1 hosszú szakaszról választunk öt tetszőleges pontot, amiket pirosra színezünk. Bármely kettő távolsága kisebb, mint 2, így minden piros pontpárhoz fel tudunk venni két-két kék pontot megfelelően, és a létrejövő kék pontok mind különbözőek lesznek, máskülönben három piros pontnak valamely (kék) pont körüli 1 sugarú körre kellene esnie, ami lehetetlen, hiszen a piros pontok egy egyenesen vannak.

Tehát a kék pontok száma legfeljebb 20 (és ennyi valóban lehet is).

Statisztika:

66 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Bencsik Ádám, Fraknói Ádám, Füredi Erik Benjámin, Győrffi Ádám György, Hegedűs Dániel, Jánosik Máté, Kovács 129 Tamás, Nádor Benedek, Nagy Nándor, Németh Norbert Marcell, Nguyen Bich Diep, Nyitrai Boglárka, Soós 314 Máté, Terjék András József, Tiderenczl Dániel, Tóth 827 Balázs, Tóth Ábel, Zsigri Bálint.
2 pontot kapott:	Argay Zsolt, Baski Bence, Beinschroth Ninett, Bukva Dávid, Csaplár Viktor, Csizmadia Miklós, Farkas 512 Izabella, Fekete Richárd, Fleiner Zsigmond, Fülöp Csilla, Kerekes Boldizsár, Kitschner Bernadett, Laki Anna, Németh Regő, Sebestyén Pál Botond, Szűcs 064 Tamás, Tot Bagi Márton, Tóth 057 Bálint, Török Ágoston, Velich Nóra.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	21 versenyző.

A KöMaL 2019. áprilisi matematika feladatai