A B. 5023. feladat (2019. április)

B. 5023. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle ACB\sphericalangle=90^{\circ}\) és \(\displaystyle AC>BC\). A háromszög köré írt kör \(\displaystyle C\)-t nem tartalmazó \(\displaystyle AB\) ívének felezőpontja \(\displaystyle X\). A \(\displaystyle CX\)-re \(\displaystyle X\)-ben állított merőleges a \(\displaystyle CA\) egyenest a \(\displaystyle P\) pontban metszi. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle AP=BC\).

Javasolta: Surányi László (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2019. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az \(\displaystyle AB\) átmérőjű kör egyik \(\displaystyle AB\) félkörívének felezőpontja \(\displaystyle X\), így \(\displaystyle BAX\sphericalangle=ABX\sphericalangle=45^\circ\) és \(\displaystyle AX=XB\). Az \(\displaystyle A,X, B, C\) pontok egy körön vannak, így a \(\displaystyle BX\) íven nyugvó \(\displaystyle BCX\) kerületi szög szintén \(\displaystyle 45^\circ\)-os. A kerületi szögekkel további szögegyenlőségek is teljesülnek: \(\displaystyle CAB\sphericalangle=CXB\sphericalangle=\alpha\), mert a \(\displaystyle BC\) íven nyugvó kerületi szögek; \(\displaystyle CBA\sphericalangle=CXA\sphericalangle=\beta\), mert az \(\displaystyle AC\) ívhez tartozó kerületi szögek.

Az \(\displaystyle ABC\) háromszög derékszögű, így \(\displaystyle \alpha+\beta=90^\circ\). Ebből már látható, hogy mivel a \(\displaystyle CX\) szakaszra \(\displaystyle X\)-ben merőlegest állítottunk, ezért az \(\displaystyle AXP\sphericalangle\) szintén az \(\displaystyle \alpha\)-val egyező szög.

Az \(\displaystyle APX\) és \(\displaystyle BCX\) háromszögeknek egy-egy megfelelő oldala és szögei megegyeznek, vagyis egybevágók, tehát a további megfelelő oldalaik –\(\displaystyle BC\) és \(\displaystyle AP\) – is egyenlő hosszúságúak.

A fentiekből azonnal adódik az is, hogy az \(\displaystyle APX\) háromszög a \(\displaystyle BCX\) háromszög \(\displaystyle X\) pont körüli \(\displaystyle 90^\circ\)-os elforgatottja.

Statisztika:

74 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	52 versenyző.
2 pontot kapott:	19 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2019. áprilisi matematika feladatai