A B. 5125. feladat (2020. október)

B. 5125. Az \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszög köré írt kör középpontja \(\displaystyle O\), az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle DC\) félegyenesek az \(\displaystyle E\) pontban metszik egymást. A \(\displaystyle BCE\) körben az \(\displaystyle E\)-vel átellenes pont \(\displaystyle F\). Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle AC\), \(\displaystyle BD\) és \(\displaystyle OF\) egyenesek egy ponton mennek át.

(6 pont)

A beküldési határidő 2020. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit, legyen az \(\displaystyle ABCD\) körben az \(\displaystyle A\)-val átellenes pont \(\displaystyle G\), a \(\displaystyle D\)-vel átellenes pont \(\displaystyle H\), az \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BD\) átlók metszéspontja pedig \(\displaystyle M\).

Az \(\displaystyle ABCD\) körben felírt Thalész-tétel miatt \(\displaystyle BG\) merőleges az \(\displaystyle AB\) egyenesre, valamint a \(\displaystyle BCE\) körben felírt Thalész-tétel miatt \(\displaystyle BF\) merőleges a \(\displaystyle BE\) egyenesre. Mivel az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle E\) pontok kollineárisak, így a \(\displaystyle B\), \(\displaystyle F\) és \(\displaystyle G\) pontok is. Hasonlóan látható a \(\displaystyle C\), \(\displaystyle F\) és \(\displaystyle H\) pontok kollinearitása. Az eddigiekből következik, hogy a \(\displaystyle BG\) és \(\displaystyle CH\) egyenesek az \(\displaystyle F\) pontban metszik egymást.

Írjuk fel az \(\displaystyle ABC\) körbe írt \(\displaystyle BGACHD\) hatszögre a Pascal-tételt. A tétel szerint a \(\displaystyle BG\cap CH=F\), \(\displaystyle GA\cap HD=O\) és \(\displaystyle AC\cap BD=M\) pontok egy egyenesre illeszkednek, amiből az állítás azonnal következik.

A feladat szövege szerint a megoldás során használt pontok mindig létrejönnek. Ezzel a bizonyítást befejeztük.

Statisztika:

37 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Arató Zita, Bán-Szabó Áron, Baski Bence, Bencsik Ádám, Diaconescu Tashi, Fekete Richárd, Hegedűs Dániel, Kalocsai Zoltán, Kercsó-Molnár Anita, Kerekes Boldizsár, Koleszár Domonkos, Kovács 129 Tamás, Lengyel Ádám, Lovas Márton, Mácsai Dániel, Mohay Lili Veronika, Molnár-Szabó Vilmos, Nádor Benedek, Nagy 551 Levente, Nguyen Bich Diep, Osztényi József, Rareș Polenciuc, Seres-Szabó Márton, Somogyi Dalma, Sztranyák Gabriella, Török Ágoston, Wiener Anna.
5 pontot kapott:	Balogh Ádám Péter.
4 pontot kapott:	1 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2020. októberi matematika feladatai