A B. 5143. feladat (2021. január)

B. 5143. Oldjuk meg a \(\displaystyle 16x^2+9x+117=24x\sqrt{x+13}\) egyenletet a valós számok körében.

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(4 pont)

A beküldési határidő 2021. február 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Rendezzük az egyenletet úgy, hogy a jobb oldalon \(\displaystyle 0\) álljon és emeljünk ki a (\(\displaystyle 9x+117\))-ből \(\displaystyle 9\)-et.

Ezután már észrevehető, hogy teljes négyzetté lehet alakítani az algebrai kifejezést:

\(\displaystyle 16x^2-24x\sqrt{x+13}+9(x+13)=0,\)

\(\displaystyle (4x)^2-2\cdot 4x\cdot 3\sqrt{x+13}+(3\sqrt{x+13})^2=0,\)

\(\displaystyle (4x-3\sqrt{x+13})^2=0,\)

\(\displaystyle 4x=3\sqrt{x+13}.\)

A jobb oldalon szereplő gyökös kifejezés miatt a a bal oldalon is nemnegatív számnak kell lennie, így \(\displaystyle x\ge 0\). A négyzetre emelés után kapott másodfokú egyenlet

\(\displaystyle 16x^2-9x-117=0,\)

amelynek pozitv megoldása \(\displaystyle x=3\). Behelyettesítéssel azonnal adódik, hogy ez valóban megoldás is.

Statisztika:

115 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	89 versenyző.
3 pontot kapott:	16 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2021. januári matematika feladatai