 |
A B. 5163. feladat (2021. március) |
B. 5163. Az \(\displaystyle ABC\) derékszögű háromszög \(\displaystyle C\) csúcsából induló, a legrövidebb oldalhoz közelebbi szögharmadoló az \(\displaystyle AB\) átfogót \(\displaystyle T\)-ben, a háromszög körülírt körét \(\displaystyle D\)-ben metszi. Mekkorák a háromszög hegyesszögei, ha a \(\displaystyle D\)-ből a befogók egyeneseire bocsátott merőlegesek talppontjai és \(\displaystyle T\) egy egyenesen vannak?
(4 pont)
A beküldési határidő 2021. április 12-én LEJÁRT.
I. megoldás. Legyen a háromszög rövidebb befogója \(\displaystyle AC\).
A háromszögben \(\displaystyle C\)-nél derékszög van, továbbá a \(\displaystyle D\) pontból merőlegeseket állítottunk a két befogóra, így a \(\displaystyle CX_aDX_b\) négyszög téglalap. A téglalap átlói felezik egymást, tehát a \(\displaystyle T\) pont akkor van rajta az \(\displaystyle X_aX_b\) egyenesen, ha \(\displaystyle T\) felezi a \(\displaystyle CD\) szakaszt. Ez azt jelenti, hogy ha a \(\displaystyle T\) pontot \(\displaystyle D\)-ből kétszeresére nagyítjuk, akkor a \(\displaystyle C\) pontba jutunk.
A kerületi és középponti szögek tétele miatt \(\displaystyle D\) a \(\displaystyle C\)-t nem tartalmazó \(\displaystyle AB\) ív \(\displaystyle A\)-hoz közelebbi harmadolópontja. Nagyítsuk \(\displaystyle D\)-ből kétszeresére az \(\displaystyle AB\) egyenest; ez kimetszi a körön a lehetséges \(\displaystyle C\) pontokat: a \(\displaystyle C_1\) a \(\displaystyle D\) tükörképe az \(\displaystyle AB\) átmérőre, a \(\displaystyle C_2\) pedig a \(\displaystyle D\) tükörképe a kör középpontjára, ezek a felső \(\displaystyle AB\) félkör harmadolópontjai.
A két metszéspont közül \(\displaystyle C_2\) nem megfelelő, mert \(\displaystyle AC_2>BC_2\). Tehát \(\displaystyle C=C_1\), \(\displaystyle CBA\angle=30^\circ\) és \(\displaystyle BAC\angle=60^\circ\).
II. megoldás. A szögek nagysága a Wallace-egyenesre történő hivatkozással gyorsan meghatározható. Az előző megoldás jelöléseivel, a feladat feltételei alapján az \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt körének \(\displaystyle D\) pontjából a két befogóra bocsátott merőlegesek talppontja \(\displaystyle X_a\) és \(\displaystyle X_b\). Az \(\displaystyle X_aX_b\) egyenes tehát a \(\displaystyle D\) ponthoz tartozó Wallace-egyenes. Ez az egyenes a harmadik \(\displaystyle AB\) oldalt a \(\displaystyle T\) pontban metszi. A tétel alapján ez a \(\displaystyle D\) pontból az \(\displaystyle AB\)-re bocsátott merőleges talppontja. A \(\displaystyle CD\) ezek szeerint merőleges az \(\displaystyle AB\) átmérőre, így \(\displaystyle ACD\sphericalangle=30^{\circ}\) miatt \(\displaystyle CAB\sphericalangle=60^{\circ}\) és \(\displaystyle ABC\sphericalangle=30^{\circ}\).
Statisztika:
79 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 70 versenyző. 3 pontot kapott: 6 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2021. márciusi matematika feladatai