 |
A B. 5185. feladat (2021. szeptember) |
B. 5185. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:
\(\displaystyle \sqrt[3]{4-x^2}+\sqrt{x^2-3}=1. \)
Javasolta: Szalai Máté (Szeged)
(4 pont)
A beküldési határidő 2021. október 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Az egyenlet akkor értelmes, ha \(\displaystyle |x|\geq \sqrt{3}\).
Az \(\displaystyle a:=\sqrt[3]{4-x^2}\) és \(\displaystyle b:=\sqrt{x^2-3}\) jelöléseket bevezetve az egyenlet
\(\displaystyle a+b=1,\)
ugyanakkor
\(\displaystyle a^3+b^2=4-x^2+x^2-3=1.\)
A kapott feltételek alapján
\(\displaystyle 1=a^3+b^2=a^3+(1-a)^2,\)
amit rendezve
\(\displaystyle 0=a^3+a^2-2a,\)
és végül szorzattá alakítva:
\(\displaystyle 0=a(a-1)(a+2).\)
Tehát \(\displaystyle a\) értéke 0, 1, vagy \(\displaystyle -2\) lehet.
Most megmutatjuk, hogy ha \(\displaystyle x\)-et úgy választjuk meg, hogy \(\displaystyle a\) értéke az előbbi három lehetőség közül kerüljön ki, akkor valóban teljesül az egyenlet. Legyen tehát \(\displaystyle x\) olyan, hogy \(\displaystyle a=\sqrt[3]{4-x^2}\in \{0,1,-2\}\). Mivel \(\displaystyle 1=a^3+(1-a)^2\), ezért \(\displaystyle (1-a)^2=1-a^3=1-(4-x^2)=x^2-3\). Ekkor \(\displaystyle 1-a\in\{1,0,3\}\), vagyis \(\displaystyle 1-a\) mindenképpen nemnegatív, és így \(\displaystyle \sqrt{x^2-3}=\sqrt{(1-a)^2}=1-a\). Ez éppen azt jelenti, hogy az egyenlet valóban teljesül:
\(\displaystyle \sqrt[3]{4-x^2}+\sqrt{x^2-3}=a+(1-a)=1.\)
Azt kell tehát meghatároznunk, mely \(\displaystyle x\)-ekre lesz \(\displaystyle a=\sqrt[3]{4-x^2}\in \{0,1,-2\}\). Világos, hogy ez pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle 4-x^2\in\{0,1,-8\}\), ami pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle x^2\in \{4,3,12\}\), vagyis ha \(\displaystyle x\in \{\pm 2,\pm\sqrt3,\pm 2\sqrt3 \}\). (Mindegyik értékre teljesül az \(\displaystyle |x|\geq \sqrt{3}\) kikötés is.)
Tehát az egyenletnek hat megoldása van:
\(\displaystyle \pm 2,\quad \pm\sqrt3,\quad \pm 2\sqrt3.\)
Statisztika:
178 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 98 versenyző. 3 pontot kapott: 41 versenyző. 2 pontot kapott: 12 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 14 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2021. szeptemberi matematika feladatai