A B. 5189. feladat (2021. szeptember)

B. 5189. Adott egy szabályos háromszög alapú egyenes gúla, az alapéle \(\displaystyle a\). Legyen a beírt gömb sugara \(\displaystyle r\), az alapot érintő hozzáírt gömb sugara \(\displaystyle R\). Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle a^2=12rR\).

Javasolta: László Lajos (Budapest)

(6 pont)

A beküldési határidő 2021. október 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a gúla alaplapja \(\displaystyle ABC\), a negyedik csúcsa \(\displaystyle D\), a \(\displaystyle BC\) él felezőpontja \(\displaystyle F\), a beírt gömb középpontja \(\displaystyle I\), az alaplaphoz hozzáírt gömb középpontja \(\displaystyle J\), a gömbök közös érintési pontja, egyben az alaplap középpontja \(\displaystyle T\), végül a két gömb érintési pontjai a \(\displaystyle BCD\) síkon \(\displaystyle U\), illetve \(\displaystyle V\). Az ábra szimmetrikus az \(\displaystyle ADF\) síkra, amely egyben a \(\displaystyle BC\) szakasz felező merőleges síkja is, ezért az \(\displaystyle I\), \(\displaystyle J\), \(\displaystyle U\) és \(\displaystyle V\) pontok is ebben a síkban vannak. A sík a két gömböt egy-egy főkörük mentén metszi; ezek a \(\displaystyle DF\) félegyenesnek azonos, az \(\displaystyle AF\) szakasznak ellentétes oldalán fekszenek az \(\displaystyle ADF\) síkban. A két körnek a \(\displaystyle DF\) egyenes az egyik külső, az \(\displaystyle AF\) szakasz pedig az egyik belső közös érintője.

Az \(\displaystyle FI\) és az \(\displaystyle FJ\) szakasz felezi a \(\displaystyle TFU\), illetve a \(\displaystyle TFV\) szöget, ezért \(\displaystyle IFJ\sphericalangle=90^\circ\); az \(\displaystyle FIJ\) egy derékszögű háromszög, amelynek átfogóhoz tartozó magassága az \(\displaystyle FT\) szakasz. Az átfogó két darabja \(\displaystyle TI=r\), illetve \(\displaystyle TJ=R\). Az \(\displaystyle a\) oldalú, szabályos \(\displaystyle ABC\) háromszög magassága \(\displaystyle AF=\frac{\sqrt3}2a\), ezt a \(\displaystyle T\) közép-, egyben súlypont harmadolja, tehát \(\displaystyle FT=\frac13AF=\frac{a}{2\sqrt3}\).

Ezek után írjuk fel a magasságtételt az \(\displaystyle FIJ\) háromszögben:

\(\displaystyle FT^2 = TI\cdot TJ,\)

\(\displaystyle \left(\frac{a}{2\sqrt3}\right)^2 = rR; \)

átrendezve

\(\displaystyle a^2=12rR. \)

Statisztika:

79 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Andai Márk, Baski Bence, Bényei Borisz, Bognár 171 András Károly, Christ Miranda Anna, Csonka Illés, Duchon Márton, Fekete Richárd, Gömze Norken, Horváth 530 Mihály, Horváth Hanna Szabrina, Jánosik Máté, Juhász-Molnár Erik, Kalocsai Zoltán, Kercsó-Molnár Anita, Koleszár Domonkos, Kun Ágoston , Laskai Botond, László Anna, Lőw László, Makrai-Kis Balázs, Nádor Artúr, Nádor Benedek, Nagy 551 Levente, Romaniuc Albert-Iulian, Sándor Péter, Sebestyén József Tas, Simon László Bence, Somogyi Dalma, Tarján Bernát, Tekes János, Tusnády Sámuel, Varga Boldizsár, Wiener Anna, Zömbik Barnabás.
5 pontot kapott:	19 versenyző.
4 pontot kapott:	9 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2021. szeptemberi matematika feladatai