A B. 5201. feladat (2021. november)

B. 5201. Legyenek az \(\displaystyle n\) pozitív egész szám pozitív osztói \(\displaystyle 1=d_1<d_2<\ldots< d_k=n\). Határozzuk meg azokat az összetett \(\displaystyle n\) számokat, amelyekre \(\displaystyle d_1\), \(\displaystyle d_1+d_2\), \(\displaystyle d_1+d_2+d_3\), \(\displaystyle \ldots,\) \(\displaystyle d_1+d_2+\ldots+d_{k-1}\) számok mind osztói \(\displaystyle n\)-nek.

Javasolta: Sándor Csaba (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2021. december 10-én LEJÁRT.

1. megoldás. Mivel \(\displaystyle n\) összetett szám, ezért osztóinak számára \(\displaystyle k\geq 3\) teljesül.

Mivel \(\displaystyle d_1, d_1+d_2, d_1+d_2+d_3, \dots,d_1+d_2+\dots+d_{k-1}\) az osztók egy \(\displaystyle k-1\) hosszú szigorúan növekvő sorozata, ezért egy kivétellel mindegyik osztó szerepel köztük. Mivel \(\displaystyle d_1<d_2<d_1+d_2\), így a kimaradó osztó csak \(\displaystyle d_2\) lehet. Ekkor viszont a \(\displaystyle d_3=d_1+d_2\), \(\displaystyle d_4=d_1+d_2+d_3\), ..., \(\displaystyle d_k=d_1+d_2+\dots+d_{k-1}\) egyenletek mind teljesülnek.

Mivel \(\displaystyle d_3=d_2+1\), ezért a \(\displaystyle d_2\) és \(\displaystyle d_3\) osztók valamelyike páros, így \(\displaystyle n\) is az. Ez viszont azt jelenti, hogy csak \(\displaystyle d_2=2\) lehet. Ekkor \(\displaystyle d_3=d_1+d_2=3\), így \(\displaystyle 6\mid n\) alapján \(\displaystyle k\geq 4\), és \(\displaystyle d_4=d_1+d_2+d_3=6\). Az \(\displaystyle n=6\) valóban megoldást ad. Ha viszont \(\displaystyle k>4\), akkor \(\displaystyle d_5=d_1+d_2+d_3+d_4=1+2+3+6=12\) lenne, de ekkor a 4 is az \(\displaystyle n\) osztója lenne, ami ellentmondás. Tehát egyetlen megoldás van: \(\displaystyle n=6\).

2. megoldás. Az előző megoldás alapján \(\displaystyle d_1=1\), \(\displaystyle d_2=2\), \(\displaystyle d_3=3\). Mivel \(\displaystyle i\geq 4\) esetén \(\displaystyle d_i=(d_1+d_2+\dots+d_{i-2})+d_{i-1}=2d_{i-1}\), ezért \(\displaystyle n=d_k=2^{k-3}\cdot 3\). Az \(\displaystyle n\) szám osztóinak számára tehát teljesül, hogy \(\displaystyle k=(k-3+1)(1+1)=2(k-2)\). Ebből kapjuk, hogy \(\displaystyle k=4\) és így \(\displaystyle n=6\), ami valóban megoldást ad.

3. megoldás. Az 1. megoldásban láttuk, hogy \(\displaystyle n\) páros és \(\displaystyle d_1+d_2+\dots+d_{k-1}=d_k=n\). Tehát \(\displaystyle n\) egy páros tökéletes szám. Ismert, hogy a páros tökéletes számok \(\displaystyle n=2^{p-1}(2^{p}-1)\) alakúak, ahol \(\displaystyle 2^p-1\) egy Mersenne-prím. Ha \(\displaystyle p=2\), akkor megkapjuk az \(\displaystyle n=6\) megoldást, ha viszont \(\displaystyle p>2\) lenne, akkor harmadik legkisebb osztója a 4 lenne, ami \(\displaystyle d_3=1+2=3\) alapján ellentmondás.

Statisztika:

132 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	72 versenyző.
3 pontot kapott:	40 versenyző.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2021. novemberi matematika feladatai