A B. 5202. feladat (2021. november)

B. 5202. Két racionális számot ismerősnek nevezünk, ha van olyan \(\displaystyle p/q\), illetve \(\displaystyle r/s\) alakjuk (\(\displaystyle p\), \(\displaystyle q\), \(\displaystyle r\), \(\displaystyle s\) egészek), amelyekre \(\displaystyle |ps-qr|=1\). Hány közös ismerőse lehet két ismerős racionális számnak?

Javasolta: Kocsis Szilveszter (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle a/b\) és \(\displaystyle c/d\) ismerős racionális számok, melyekre \(\displaystyle ad-bc=1\). (\(\displaystyle a/b\) és \(\displaystyle c/d\) szerepe felcserélhető, így feltehetjük, hogy \(\displaystyle ad-bc\) értéke 1, és nem \(\displaystyle -1\).)

Legyen \(\displaystyle u/v\) egy közös ismerősük. Ekkor egyrészt

\(\displaystyle av-bu=\alpha\in \{\pm 1\},\)

másrészt

\(\displaystyle cv-du=\beta\in \{\pm 1\}.\)

A két egyenlet megfelelő kombinációját véve meghatározzuk előbb \(\displaystyle v\), majd \(\displaystyle u\) értékét:

\(\displaystyle \alpha d-\beta b=d(av-bu)-b(cv-du)=(ad-bc)v=v,\)

\(\displaystyle \alpha c-\beta a=c(av-bu)-a(cv-du)=(ad-bc)u=u.\)

Tehát egy \(\displaystyle u/v\) közös ismerősre teljesül, hogy

\(\displaystyle \frac{u}{v}=\frac{\alpha c-\beta a}{\alpha d-\beta b},\)

ahol \(\displaystyle \alpha,\beta\in \{\pm 1\}\).

Ez négy lehetőség, azonban

\(\displaystyle \frac{(-\alpha) c-(-\beta) a}{(-\alpha) d-(-\beta) b}=\frac{\alpha c-\beta a}{\alpha d-\beta b}\)

alapján két-két esetben biztosan ugyanaz az \(\displaystyle u/v\) szám adódik.

Tehát két ismerős racionális számnak legfeljebb két közös ismerőse lehet. Megmutatjuk, hogy lehet két közös ismerős.

Vegyük például az \(\displaystyle a/b=1/2\) és \(\displaystyle c/d=2/3\) racionális számokat, melyek ismerősök. Az \(\displaystyle \alpha=\beta=1\) választással kapott

\(\displaystyle \frac{u}{v}=\frac{ c- a}{ d- b}=1/1=1\)

és az \(\displaystyle \alpha =1,\beta=-1\) választással kapott

\(\displaystyle \frac{u}{v}=\frac{ c+ a}{ d+ b}=3/5\)

számokról könnyen ellenőrizhető, hogy valóban az \(\displaystyle 1/2\) és \(\displaystyle 2/3\) közös ismerősei.

Tehát két ismerős racionális számnak legfeljebb két közös ismerőse lehet.

Megjegyzés. Farey-törtekről, és ezen belül Farey-szomszédokról (ami a feladatbeli ismeretségnek felel meg) például itt olvashatunk. Érdemes megemlíteni még az úgy nevezett Ford-köröket, melyekről itt olvashatunk.

Statisztika:

68 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ben Gillott, Bencsik Dávid, Bényei Borisz, Christ Miranda Anna, Chrobák Gergő, Czanik Pál, Diaconescu Tashi, Duchon Márton, Egyházi Hanna, Fajszi Karsa, Farkas 512 Izabella, Fazokán Marcell, Fekete Richárd, Fülöp Csilla, Jánosik Máté, Kercsó-Molnár Anita, Koleszár Domonkos, László Anna, Lovas Márton, Melján Dávid Gergő, Móricz Benjámin, Nagy 551 Levente, Németh Márton, Németh Norbert Marcell, Páhán Anita Dalma, Rareș Polenciuc, Sebestyén József Tas, Simon László Bence, Szabó 810 Levente, Szanyi Attila, Tarján Bernát, Tichy Márk, Tóth 057 Bálint, Varga Boldizsár, Virág Rudolf, Wiener Anna, Zömbik Barnabás.
4 pontot kapott:	Bálint Béla, Baski Bence, Csilling Dániel, Csonka Illés, Horváth 530 Mihály, Juhász-Molnár Erik, Koltai Csaba Ferenc, Mizik Lóránt, Szőcs András , Tran Dávid.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	11 versenyző.

A KöMaL 2021. novemberi matematika feladatai