A B. 5240. feladat (2022. április)

B. 5240. Mutassuk meg, hogy minden \(\displaystyle n\) pozitív egész számnak van olyan többszöröse, amelyben a számjegyek összege \(\displaystyle n\).

Javasolta: Sándor Csaba (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2022. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A skatulya-elv alapján bármely \(\displaystyle (n-1)n+1\) egész szám közül kiválasztható \(\displaystyle n\), melyek \(\displaystyle n\)-nel osztva ugyanazt a maradékot adják. Speciálisan, a \(\displaystyle 10^0,10^1,10^2,\dots,10^{(n-1)n}\) számok közül kiválasztható \(\displaystyle n\), melyek ugyanazt a maradékot adják \(\displaystyle n\)-nel osztva. Ezek összege egyrészt \(\displaystyle n\)-nel osztható, másrészt pontosan \(\displaystyle n\) nemnulla jegye van, ami mind 1-es, vagyis jegyeinek összege \(\displaystyle n\). Ezzel igazoltuk, hogy van az \(\displaystyle n\) számnak olyan többszöröse, melyben a számjegyek összege \(\displaystyle n\).

Statisztika:

50 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Bencz Benedek, Bényei Borisz, Csonka Illés, Czanik Pál, Diaconescu Tashi, Dienes Ervin Fotisz, Diószeghy Erzsébet, Duchon Márton, Farkas 005 Bendegúz, Farkas 512 Izabella, Fülöp Csilla, Guthy Gábor, Han Ziying, Horváth 530 Mihály, Jánosik Máté, Kalocsai Zoltán, Koleszár Domonkos, Kovács Alex, Kovács Benedek Noel, Lovas Márton, Melján Dávid Gergő, Mohay Lili Veronika, Nádor Artúr, Németh Márton, Nguyen Kim Dorka, Romaniuc Albert-Iulian, Simon László Bence, Somogyi Dalma, Szabó 810 Levente, Szakács Ábel, Tarján Bernát, Tóth 057 Bálint, Varga Boldizsár, Wiener Anna, Zömbik Barnabás.
3 pontot kapott:	Chrobák Gergő, Juhász-Molnár Erik, Móricz Benjámin, Szakács Domonkos, Szanyi Attila, Tran Dávid, Világi Áron.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2022. áprilisi matematika feladatai