A B. 5256. feladat (2022. szeptember)

B. 5256. András egy év mind az 52 hetében egy-egy ugyanúgy kitöltött szelvénnyel játszik az ötöslottón. Bea ellenben az év utolsó sorsolása előtt vesz 52 szelvényt, és azokat (páronként különbözőféleképpen kitöltve) egyszerre játssza meg. Igaz-e, hogy ugyanannyi esélye van Andrásnak és Beának arra, hogy legyen telitalálatos szelvényük?

(4 pont)

A beküldési határidő 2022. október 10-én LEJÁRT.

1. megoldás. Mivel összesen \(\displaystyle \binom{90}{5}\)-féleképpen lehet kitölteni egy szelvényt, ezért Beának

\(\displaystyle p_B:=\frac{52}{\binom{90}{5}}=52p\)

valószínűséggel lesz telitalálatos szelvénye, ahol \(\displaystyle p=1/\binom{90}{5}\).

András szelvénye minden héten \(\displaystyle p=\frac{1}{\binom{90}{5}}\) valószínűséggel lesz telitalálatos, így annak a valószínűsége, hogy egyik héten sincs telitalálatos szelvénye \(\displaystyle \left(1-\frac{1}{\binom{90}{5}} \right )^{52}\). Tehát Andrásnak

\(\displaystyle p_A:=1-\left(1-\frac{1}{\binom{90}{5}} \right )^{52}=1-(1-p)^{52}\)

valószínűséggel lesz telitalálatos szelvénye.

A Bernoulli-egyenlőtlenség alapján

\(\displaystyle (1-p)^{52}>1-52p,\)

és így

\(\displaystyle p_B=52p>1-(1-p)^{52}=p_A.\)

A teljesség kedvéért ezt az egyenlőtlenséget be is bizonyítjuk: \(\displaystyle k\)-ra vonatkozó indukcióval megmutatjuk, hogy bármely \(\displaystyle k\geq 2\) egész számra \(\displaystyle (1-p)^k>1-kp\). Ha \(\displaystyle k=2\), akkor valóban \(\displaystyle (1-p)^2=1-2p+p^2>1-2p\), hiszen \(\displaystyle p>0\). Az indukciós lépés \(\displaystyle k\)-ról \(\displaystyle (k+1)\)-re pedig az alábbiak szerint igazolható:

\(\displaystyle (1-p)^{k+1}=(1-p)^k(1-p)>(1-kp)(1-p)=1-(k+1)p+kp^2>1-(k+1)p.\)

Tehát \(\displaystyle p_B>p_A\), így Andrásnak és Beának nem ugyanakkora esélye van arra, hogy legyen telitalálatos szelvényük.

Megjegyzés. A \(\displaystyle p_A\ne p_B\) állítást másképpen is igazolhatjuk. A 89 prímszám, a \(\displaystyle p_B=\frac{52}{\binom{90}{5}}\) tört redukált alakjában a nevezőt első hatványon osztja, a \(\displaystyle p_A=1-\left(1-\frac{1}{\binom{90}{5}} \right )^{52}\) száméban pedig 52-edik hatványon. Így nem lehet \(\displaystyle p_A=p_B\).

2. megoldás. András esélye telitalálatos szelvényre nem változna, ha ő is csak az 52-edik héten játszana, 52, egymástól függetlenül, véletlenszerűen kitöltött szelvénnyel. Ha a szelvények között \(\displaystyle t\) különböző lesz, akkor telitalálatos szelvényre \(\displaystyle \frac{t}{\binom{90}{5}}\) esélye van, ami legfeljebb \(\displaystyle \frac{52}{\binom{90}{5}}\) lehet, ami épp Bea esélye. Azonban pozitív valószínűséggel az 52 szelvény között lesz két egyforma, így András esélye telitalálos szelvényre ennél kisebb. Tehát az esélyük nem egyforma.

Statisztika:

208 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	87 versenyző.
3 pontot kapott:	13 versenyző.
2 pontot kapott:	38 versenyző.
1 pontot kapott:	40 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.
Nem versenyszerű:	13 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	3 dolgozat.

A KöMaL 2022. szeptemberi matematika feladatai