A B. 5264. feladat (2022. október)

B. 5264. Ketten a következő játékot játsszák. Először Kezdő előírja egy \(\displaystyle 0\)–\(\displaystyle 1\) sorozat tetszőleges számú (akár végtelen sok) elemét úgy, hogy végtelen sok elem még ne legyen előírva. Ezután Második előírja a sorozat legkisebb indexű még nem előírt elemének értékét. Majd ezeket a lépéseket ismételgetik felváltva a végtelenségig. Kezdő nyer, ha a kapott sorozat valahonnan kezdve periodikus, Második nyer, ha nem az. Van-e valakinek nyerő stratégiája (és ha igen, kinek)?

Javasolta: Pach Péter Pál (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2022. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Azt mutatjuk meg, hogy Másodiknak van nyerő stratégiája. Legyen a sorozat, amit meghatároznak, \(\displaystyle (a_n)\). Tekintsük a következő \(\displaystyle (s_i)\) sorozatot:

\(\displaystyle 1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,2,3,4,5,\dots,\)

amit úgy kapunk, hogy az \(\displaystyle 1,2,\dots,n\) sorozatokat fűzzük egymás után \(\displaystyle n=1\)-től kezdve. Második stratégiája legyen az, hogy az általa \(\displaystyle i\)-edik lépésben előírandó \(\displaystyle a_t\) értékét úgy választja meg, hogy amennyiben \(\displaystyle t> s_i\), akkor \(\displaystyle a_t\ne a_{t-s_i}\) legyen (vagyis \(\displaystyle a_t:=1-a_{t-s_i}\) értéket írja elő). Ha \(\displaystyle t\leq s_i\), akkor \(\displaystyle a_t\) értékét tetszőlegesen megválaszthatja.

Megmutatjuk, hogy a kapott sorozat nem lesz valahonnan kezdve periodikus. Elég belátni, hogy semmilyen \(\displaystyle 0<p\) mellett nem lesz valahonnan periodikus \(\displaystyle p\) periódussal. A \(\displaystyle p\) szám az \(\displaystyle s_i\) sorozatban végtelen sokszor szerepel. Ezek közül csak véges sokszor lehet, hogy az előírandó \(\displaystyle a_t\) szám indexére \(\displaystyle t\leq p\). Így végtelen sokszor az általa előírt \(\displaystyle a_t\)-re \(\displaystyle a_t\ne a_{t-p}\), tehát a sorozat nem periodikus \(\displaystyle p\) periódussal.

Ezzel beláttuk, hogy Másodiknak van nyerő stratégiája.

Statisztika:

59 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ali Richárd, Christ Miranda Anna, Chrobák Gergő, Czanik Pál, Domján Olivér, Duchon Márton, Fórizs Emma, Fülöp Csilla, Kovács Benedek Noel, László Anna, Melján Dávid Gergő, Molnár István Ádám, Nagy 429 Leila, Nguyen Kim Dorka, Simon László Bence, Szakács Ábel, Szakács Domonkos, Szeibert Dominik, Tarján Bernát, Varga Boldizsár, Virág Rudolf, Wiener Anna, Zömbik Barnabás.
3 pontot kapott:	Csilling Dániel, Csonka Illés, Czirják Márton Pál, Han Ziying, Kocsis 827 Péter, Sági Mihály.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2022. októberi matematika feladatai