A B. 5278. feladat (2022. december)

B. 5278. Nevesincs iskolában a végzős reálosok négy csoportot alkotnak, vannak matekosok, fizikások, kémiások és bioszosok. Egy napon a menzán mindannyian egy nagy, kerek asztalnál ülnek együtt, mindenkivel szemben ül valaki és mindenkinek van bal oldali és jobb oldali szomszédja. Bárkit választunk ki, két szomszédjával és a vele szemben ülővel csupa különböző csoport tagjai. Hányan lehetnek a végzős reálosok, ha \(\displaystyle 20\)-nál kevesebben vannak?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(3 pont)

A beküldési határidő 2023. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel mindenkivel szemben ül valaki, így a diákok száma páros, legyen tehát a végzősök száma \(\displaystyle 2n\), ahol \(\displaystyle n\) egész szám.

Megmutatjuk, hogy az asztal körül bármely 4 szomszédos helyen mindig 4 különböző csoportba tartozó ül, és így az asztal körül körbesétálva ez a 4 hosszú minta ciklikusan ismétlődik. A diákokat számozzuk meg az asztal mellett körbesétálva sorrendben az \(\displaystyle 1,2,\dots,2n\) számokkal, és \(\displaystyle a_i\) jelölje, hogy az \(\displaystyle i\)-edik végzős melyik csoportba tartozik. A feltételt a 2-es diákra alkalmazva kapjuk, hogy \(\displaystyle a_1,a_2,a_3,a_{n+2}\) mind különbözők, legyen mondjuk \(\displaystyle a_1=A,a_2=B,a_3=C,a_{n+2}=D\) (ahol \(\displaystyle A,B,C,D\) valamilyen sorrendben a matekos, fizikás, kémiás, bioszos csoportot jelöli). A feltételt a 3-as diákra alkalmazva kapjuk, hogy

\(\displaystyle \{A,B,C,D\}=\{a_2,a_3,a_4,a_{n+3}\}=\{B,C,a_4,a_{n+3}\},\)

vagyis

\(\displaystyle \{a_4,a_{n+3}\}=\{A,D\},\)

míg az \(\displaystyle (n+2)\)-es diákra alkalmazva

\(\displaystyle \{A,B,C,D\}=\{a_{n+1},a_{n+2},a_{n+3},a_2\}=\{a_{n+1},D,a_{n+3},B\},\)

vagyis

\(\displaystyle \{a_{n+1},a_{n+3}\}=\{A,C\}.\)

Így csak \(\displaystyle a_{n+3}=A\) lehet, és ezért \(\displaystyle a_4=D\).

Ezután ehhez hasonlóan kapjuk, hogy \(\displaystyle a_5=A\) (hiszen az előző gondolatmenet alapján \(\displaystyle a_5\)-nek \(\displaystyle a_2=B,a_3=C,a_4=D\) mindegyikétől különböznie kell), és így tovább, végig ez a 4 hosszú sorozat ismétlődik ciklikusan: \(\displaystyle A,B,C,D,A,B,C,D,\dots\).

Tehát \(\displaystyle a_i\) csoportját az \(\displaystyle i\) sorszám 4-es maradéka határozza meg. Speciálisan, mikor körbeérünk, azt kell kapnunk, hogy a \(\displaystyle (2n+1)\)-edik diák (aki ugyanaz, mint az 1-es) csoportjára \(\displaystyle a_{2n+1}=a_1\), ezért \(\displaystyle 4\mid 2n\). Viszont \(\displaystyle a_1\ne a_{n+1}\), ezért \(\displaystyle 4\nmid n\), tehát \(\displaystyle n=4k+2\) alakú (\(\displaystyle k\) egész). Ha \(\displaystyle n=4k+2\), akkor a fenti beosztás megfelelő, hiszen az \(\displaystyle i-1,i,i+1,n+i\) sorszámok (modulo \(\displaystyle 2n\) értve őket) páronként különböző 4-es maradékot adnak. Ez az \(\displaystyle i-1,i,i+1\) hármasra világos, \(\displaystyle n+i\) pedig különböző paritású, mint \(\displaystyle i-1\) és \(\displaystyle i+1\), valamint \(\displaystyle n=4k+2\) miatt \(\displaystyle i\)-től is különbözik a 4-es maradéka. (Mivel \(\displaystyle 4\mid 2n\), így a sorszámok 4-es maradéka független attól, hogy az adott modulo \(\displaystyle 2n\) maradékosztály melyik reprezentánsát választjuk ki.)

Tehát pontosan akkor teljesülhet a feltétel, ha a diákok száma \(\displaystyle 2n=8k+4\) alakú. Mivel a feltétel szerint vannak matekosok, ezért \(\displaystyle 0<k\), hiszen \(\displaystyle k=0\), és így \(\displaystyle 2n=4\) esetén csak egyetlen matekos lenne. Ugyanakkor \(\displaystyle 2n<20\) alapján \(\displaystyle k<2\). Tehát csak \(\displaystyle k=1\), \(\displaystyle n=12\) lehet.

Tehát a végzős reálosok 12-en vannak.

Statisztika:

146 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	98 versenyző.
2 pontot kapott:	14 versenyző.
1 pontot kapott:	20 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.

A KöMaL 2022. decemberi matematika feladatai