 |
A B. 5320. feladat (2023. május) |
B. 5320. Az \(\displaystyle a_n\) sorozat elemeire teljesül, hogy \(\displaystyle \frac{a_{n+3}}{a_{n+1}} + \frac{a_n}{a_{n+2}} = 2\), első három tagja pedig \(\displaystyle a_1=1\), \(\displaystyle a_2=4\) és \(\displaystyle a_3=2\). Igazoljuk, hogy \(\displaystyle \frac{2^{2021}}{a_{2023}}\) egész szám.
Javasolta: Andrei Eckstein (Temesvár)
(5 pont)
A beküldési határidő 2023. június 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Először teljes indukcióval belátjuk, hogy \(\displaystyle n\ge1\) esetén
| \(\displaystyle \dfrac{a_{n+2}}{a_{n}}=\dfrac{n+1}{n}. \) | \(\displaystyle (1) \) |
Az \(\displaystyle n=1\) esetben ez igaz, mert \(\displaystyle \dfrac{a_3}{a_1}=\dfrac21\). Ha (1) igaz valamilyen \(\displaystyle n\)-re, akkor
\(\displaystyle \dfrac{a_{n+3}}{a_{n+1}} =2-\dfrac{a_n}{a_{n+2}} =2-\dfrac{n}{n+1} =\dfrac{n+2}{n+1}, \)
tehát (1) az \(\displaystyle n+1\) értékre is teljesül.
Ezután újabb indukcióval megmutatjuk, hogy \(\displaystyle k\ge1\) esetén
| \(\displaystyle \dfrac{2^{2k-1}}{a_{2k+1}} = \dbinom{2k-1}{k-1}. \) | \(\displaystyle (2) \) |
A \(\displaystyle k=1\) esetben ez teljesül, mert
\(\displaystyle \dfrac{2}{a_3} =1 =\dbinom10. \)
Ha (2) teljesül valamely \(\displaystyle k\)-ra, akkor teljesül \(\displaystyle (k+1)\)-re is, mert
\(\displaystyle \dfrac{2^{2k+1}}{a_{2k+3}} = \dfrac{2^{2k-1}}{a_{2k+1}} \cdot 4\frac{a_{2k+1}}{a_{2k+3}} = \dbinom{2k-1}{k-1} \cdot 4\dfrac{2k+1}{2k+2} = \dbinom{2k-1}{k+1} \cdot \dfrac{2k(2k+1)}{k(k+1)} = \dbinom{2k+1}{k+1}. \)
Ezzel (2)-t is igazoltuk.
A \(\displaystyle k=1011\) speciális esetben azt kaptuk, hogy \(\displaystyle \dfrac{2^{2021}}{a_{2023}} =\dbinom{2021}{1010}\), ami valóban egész szám.
Statisztika:
47 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Aravin Peter, Bodor Mátyás, Chrobák Gergő, Csonka Illés, Czirják Márton Pál, Diaconescu Tashi, Holló Martin, Horváth 530 Mihály, Inokai Ádám, Jármai Roland, Kerekes András, Kovács Benedek Noel, Melján Dávid Gergő, Szakács Ábel, Szanyi Attila, Tarján Bernát, Tran Dávid, Varga Boldizsár, Vigh 279 Zalán. 4 pontot kapott: Bencz Benedek, Christ Miranda Anna, Gömze Norken, Hosszu Noel, Keresztély Zsófia, Kosztolányi Karina, Romaniuc Albert-Iulian, Szabó Imre Bence, Török Eszter Júlia, Tusnády Sámuel. 3 pontot kapott: 8 versenyző. 2 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2023. májusi matematika feladatai