 |
A B. 5384. feladat (2024. április) |
B. 5384. Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c>0\) és \(\displaystyle a^2+b^2+c^2=abc\), akkor
\(\displaystyle 2(a+b+c)+\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab} \le abc. \)
Javasolta: Bencze Mihály (Brassó)
(4 pont)
A beküldési határidő 2024. május 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az eredetivel ekvivalens egyenlőtlenséget kapunk, ha mindkét oldalt szorozzuk a pozitív \(\displaystyle abc\) szorzattal:
\(\displaystyle 2(a^2bc+ab^2c+abc^2)+a^4+b^4+c^4\leq (abc)^2.\)
A jobb oldalon a feltétel alapján \(\displaystyle abc\) helyére írjunk \(\displaystyle (a^2+b^2+c^2)\)-et, majd végezzük el a négyzetre emelést:
\(\displaystyle 2(a^2bc+ab^2c+abc^2)+a^4+b^4+c^4\leq (a^2+b^2+c^2)^2,\)
\(\displaystyle 2(a^2bc+ab^2c+abc^2)+(a^4+b^4+c^4)\leq (a^4+b^4+c^4)+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2.\)
Az egyenlőtlenséget rendezve és teljes négyzeteket kialakítva:
\(\displaystyle 0\leq a^2(b-c)^2+b^2(c-a)^2+c^2(a-b)^2.\)
Az így kapott – és az eredetivel ekvivalens – egyenlőtlenség teljesül, hiszen a jobb oldalon teljes négyzetek összege szerepel. Ezzel a feladat állítását igazoltuk.
Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha mindhárom teljes négyzet 0, vagyis ha \(\displaystyle a=b=c\). Az \(\displaystyle a^2+b^2+c^2=abc\) feltétel alapján pedig a közös érték a 3: \(\displaystyle a=b=c=3\).
Statisztika:
89 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 76 versenyző. 3 pontot kapott: 5 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2024. áprilisi matematika feladatai