A B. 5393. feladat (2024. május)

B. 5393. Legyen az \(\displaystyle f\) olyan valós-valós függvény, amelyre

\(\displaystyle \left|f(x+y+z)+\sin\,x+\sin\,y+\sin\,z \right|\le 3, \quad \text{minden } x, y, z\in \mathbb{R} \text{ esetén}. \)

Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle |f(x)-\sin x|\le 1\) minden \(\displaystyle x\in \mathbb{R}\) esetén.

Javasolta: Bencze Mihály (Brassó)

(4 pont)

A beküldési határidő 2024. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A feltételben írjunk \(\displaystyle x\) helyére \(\displaystyle (x-\pi)\)-t és legyen \(\displaystyle y=z=\pi/2\). Ekkor azt kapjuk, hogy

\(\displaystyle |f(x-\pi+\pi/2+\pi/2)+\sin(x-\pi)+\sin (\pi/2)+\sin (\pi/2)|\leq 3,\)

vagyis

\(\displaystyle |f(x)-\sin x +2|\leq 3,\)

amiből \(\displaystyle f(x)-\sin x+2\leq 3\) alapján \(\displaystyle f(x)-\sin x\leq 1\).

Ehhez hasonlóan, most írjunk a feltételben \(\displaystyle x\) helyére \(\displaystyle (x+\pi)\)-t és legyen \(\displaystyle y=z=-\pi/2\). Ekkor azt kapjuk, hogy

\(\displaystyle |f(x+\pi-\pi/2-\pi/2)+\sin(x+\pi)+\sin (-\pi/2)+\sin (-\pi/2)|\leq 3,\)

vagyis

\(\displaystyle |f(x)-\sin x -2|\leq 3,\)

amiből \(\displaystyle f(x)-\sin x-2\geq -3\) alapján \(\displaystyle f(x)-\sin x\geq -1\).

Azt kaptuk tehát, hogy \(\displaystyle -1\leq f(x)-\sin x\leq 1\), vagyis igazoltuk az \(\displaystyle |f(x)-\sin x|\leq 1\) egyenlőtlenséget.

Statisztika:

A B. 5393. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2024. májusi matematika feladatai