 |
A C. 1003. feladat (2009. október) |
C. 1003. Egy nagykereskedő, aki háztartási vegyiárut és papírárut forgalmaz, egy 12 m3 térfogatú, 5 tonna áru befogadására alkalmas konténerrel rendelkezik. A vegyiáru tonnánként 1 m3, a papíráru pedig 3 m3 térfogatú. A haszon a vegyiárun tonnánként százezer, a papírárun kétszázezer forint.
Legfeljebb mekkora haszonra tehet szert egy konténernyi áru eladásával a kereskedő?
(5 pont)
A beküldési határidő 2009. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen a konténerben \(\displaystyle v\) tonna vegyiáru és \(\displaystyle p\) tonna papíráru. Ekkor a konténer kapacitása szerint \(\displaystyle 0\le v+p \le 5\) és \(\displaystyle 0 \le v+3p \le 12\). A haszont százezer forintban számolva keressük a \(\displaystyle v+2p\) maximumát (\(\displaystyle C\)). Az egyenlőtlenségeket \(\displaystyle v\le 5-p\) és \(\displaystyle v\le 12-3p\) alakban írva ábrázoljuk grafikonon. Mindkét feltételnek eleget tevő értékek a grafikonon a (0,5), (0,0), (4,0) és - a határegyenesek metszéspontjaként adódó - (7/2, 3/2) pontok által meghatározott négyszög határára és belsejébe eső pontpárok adják. A haszont megadó lineáris összefüggést ábrázolva a kapott egyenes a \(\displaystyle v\) tengelyt \(\displaystyle C\)-ben metszi; a különböző hasznokhoz különböző, egymással párhuzamos egyenesek tartoznak. A feladat szerint az egyenesnek és a fent leírt négyszöglapnak van közös része. Akkor kapjuk a legnagyobb \(\displaystyle C\) értéket, amikor az egyenes a (7/2, 3/2) ponton megy át. Az ettől eltérő hasznokhoz tartozó egyenesek mind a \(\displaystyle \left(\frac 72 , \frac 32\right)\)-n átmenő egyenes alatt haladnak, mivel az támaszegyenese a négyszögnek.
Tehát a legnagyobb hasznot akkor kapja, ha \(\displaystyle 1,5\) t papírárut és \(\displaystyle 3,5\) t vegyiárut ad el, ekkor a haszon \(\displaystyle C=1,5+2\cdot3,5=8.5\) százezerszerese, vagyis 850 ezer Ft.
Statisztika:
462 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 51 versenyző. 4 pontot kapott: 20 versenyző. 3 pontot kapott: 34 versenyző. 2 pontot kapott: 144 versenyző. 1 pontot kapott: 166 versenyző. 0 pontot kapott: 28 versenyző. Nem versenyszerű: 19 dolgozat.
A KöMaL 2009. októberi matematika feladatai