A C. 1005. feladat (2009. november)

C. 1005. A Baranya IC megelőz egy párhuzamos vágányon haladó tehervonatot, majd visszafele is elhaladnak egymás mellett. Az IC és a tehervonat sebességének aránya megegyezik az előzés idejének és az egymással szembeni elhaladásuk idejének arányával. Hányszorosa az IC sebessége a tehervonat sebességének, ha mindkét vonat sebessége változatlan?

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje az IC sebességét \(\displaystyle V\), a tehervonatét \(\displaystyle v\), az előzés időtartama legyen \(\displaystyle T\), az egymás mellett szemben elhaladásé pedig \(\displaystyle t\). A két vonat együttes hossza legyen \(\displaystyle l\). A feladat szerint \(\displaystyle \frac Vv = \frac Tt =k\). Az egymás mellett elhaladás közben megtett utakat számoljuk ki és hasonlítsuk össze: az egyirányú elhaladáskor a tehervonat \(\displaystyle vT\) utat tesz meg, az IC pedig \(\displaystyle VT\)-t, ami pontosan \(\displaystyle l\)-lel több a tehervonaténál, azaz \(\displaystyle vT + l =VT\). A szemben elhaladáskor a tehervonat \(\displaystyle vt\) utat, az IC \(\displaystyle Vt\) utat tesz meg, együtt pont \(\displaystyle l\)-t, azaz \(\displaystyle l=vt + Vt\). A két összefüggésből \(\displaystyle l=T(V-v)=t(V+v)\), amiből \(\displaystyle \displaystyle{\frac Tt = \frac{V+v}{V-v}}\). A sebességeket tartalmazó tört számlálóját és nevezőjét is \(\displaystyle v\)-vel osztva, illtve \(\displaystyle k\) állandót használva \(\displaystyle k=\frac{k+1}{k-1}\). Beszorzás után a másodfokú egyenlet megoldásai \(\displaystyle k=1+\sqrt 2\) ill. \(\displaystyle k=1-\sqrt 2\). Mivel \(\displaystyle k>1\), ezért az első arány felel meg a a feladat feltételeinek: \(\displaystyle \mathbf{k=1+\sqrt 2}\).

Statisztika:

233 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	185 versenyző.
4 pontot kapott:	6 versenyző.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	15 versenyző.

A KöMaL 2009. novemberi matematika feladatai