A C. 1022. feladat (2010. február)

C. 1022. Egy rombusz formájú csuklós edényalátét oldalai 20 cm-esek, és hosszabbik átlója 32 cm-es. A hosszú átló mentén kissé összenyomjuk a szerkezetet, mire a másik átló hosszabb lesz, mégpedig az összenyomás hosszának 1,2-szeresével. Mekkorák lettek az átlók?

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Felhasználjuk, hogy a rombusz átlói felezik egymást és merőlegesek egymásra. Ezért a rövidebbik átló felének hosszát Pithagoras tételével kiszámolhatjuk: \(\displaystyle y=\sqrt{20^2-16^2}=12\). Az összenyomás után az edényalátát olyan rombusz formájú, melynek egyik átlójának fele \(\displaystyle 16-x\), másik átlójának fele \(\displaystyle 12+1,2x\) hosszú. Mivel ezek az átlók is merőlegesen felezik egymást, ezért ismét felírhatjuk Pithagoras tételét: \(\displaystyle (16-x)^2 + (12+1,2x)^2 = 20^2\), átrendezve \(\displaystyle 2,44x^2-3,2x=0\). Mivel az összenyomás valódi, azaz \(\displaystyle x>0\), ezért \(\displaystyle x=\frac{80}{61}\approx 1,31\) cm. Ez összenyomás után az átlók kb. 29,38 cm és 27,15 cm hosszúak lettek.

Statisztika:

272 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	140 versenyző.
4 pontot kapott:	67 versenyző.
3 pontot kapott:	21 versenyző.
2 pontot kapott:	16 versenyző.
1 pontot kapott:	22 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2010. februári matematika feladatai