A C. 1025. feladat (2010. március)

C. 1025. Az a és b egész számok esetén jelentse aob a két szám közül a nem kisebbnél eggyel nagyobb számot, a*b a két szám közül a nem nagyobbnál eggyel nagyobb számot.

Oldjuk meg a következő egyenletet: (xo2010)*2011=x+2.

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. április 12-én LEJÁRT.

1. megoldás. \(\displaystyle x\circ 2010\) értéke definíció szerint (ha \(\displaystyle x\ge 2010\)) \(\displaystyle x+1(\ge 2011)\) vagy 2011 (ha \(\displaystyle x\le 2010\)). Tehát \(\displaystyle x\circ 2010\ge 2011\), ami szerint \(\displaystyle (x\circ 2010)\star 2011=2012\), a feladat szerint \(\displaystyle 2012=x+2\), azaz \(\displaystyle x=2010\).

2. megoldás. Visszafele haladva \(\displaystyle x+1=2011\) vagy \(\displaystyle x+1=x\circ 2010\). Az elsőből \(\displaystyle x=2010\), a másodikból \(\displaystyle x=x\) vagy \(\displaystyle x=2010\). Az \(\displaystyle x=2010\) valódi megoldás az ellenőrzést elvégezve. Az \(\displaystyle x=x\) azonossághoz akkor jutottunk, amikor \(\displaystyle 2011\ge x\circ 2010\) és \(\displaystyle x\ge 2010\). Ez utóbbiból következik, hogy \(\displaystyle x\circ 2010 \ge 2011\). Mindkét egyenlőtlenség pontosan akkor teljesül, ha egyenlőség van, azaz \(\displaystyle x=2010\).

Statisztika:

265 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	236 versenyző.
4 pontot kapott:	1 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	13 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.

A KöMaL 2010. márciusi matematika feladatai