 |
A C. 1028. feladat (2010. március) |
C. 1028. Adott a síkon az ABC szabályos háromszög. Hányszorosa a háromszög területének azon síkidom területe, amelyet azok a pontok alkotnak, amelyeknek a háromszög A csúcsától mért távolsága nem nagyobb, B és C csúcsától mért távolsága nem kisebb, mint a háromszög oldala?
(5 pont)
A beküldési határidő 2010. április 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög oldala legyen \(\displaystyle a\). Ekkor a keresett pontok az \(\displaystyle A\) csúcs köré írt \(\displaystyle a\) sugarú körön belül, a \(\displaystyle B\), illetve \(\displaystyle C\) csúcs köré írt \(\displaystyle a\) sugarú körön pedig kívül vannak. Ezek a pontok az ábrán kékkel színezett alakzatot határozzák meg.
Mivel \(\displaystyle ACB'\) és \(\displaystyle AC'B\) egyaránt \(\displaystyle a\) oldalú szabályos háromszögek, így \(\displaystyle B'AC\angle=CAB\angle=BAC'\angle=60^{\circ}\). Tehát az alakzat egy félkör, melyből elhagyunk két \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os középponti szögű körszeletet.
A félkör területe \(\displaystyle \frac{a^2\pi}2\). Egy 60°-os körszelet területét megkapjuk egy \(\displaystyle a\) sugarú 60°-os körcikk és egy \(\displaystyle a\) oldalú szabályos háromszög területének különbségeként: \(\displaystyle T_{\rm körszelet}= \frac{a^2\pi}6-\frac{a^2\sqrt3}4=a^2\left(\frac{\pi}6-\frac{\sqrt3}4 \right)\).
A síkidom területe: \(\displaystyle t=\frac{a^2\pi}2-2a^2\left(\frac{\pi}6-\frac{\sqrt3}4 \right)=a^2\left(\frac\pi6+ \frac{\sqrt3}2\right)\). A háromszög területe \(\displaystyle \frac{a^2\sqrt3}4\), a kettő hányadosa: \(\displaystyle \frac{\frac\pi6+ \frac{\sqrt3}2}{\frac{\sqrt3}4}=\frac{2\pi}{3\sqrt3}+2\approx 3,21\).
Tehát a síkidom területe a háromszög területének kb. 3,21-szerese.
Statisztika:
208 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 144 versenyző. 4 pontot kapott: 5 versenyző. 3 pontot kapott: 19 versenyző. 2 pontot kapott: 12 versenyző. 1 pontot kapott: 20 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző. Nem versenyszerű: 3 dolgozat.
A KöMaL 2010. márciusi matematika feladatai