A C. 1034. feladat (2010. április)

C. 1034. Forgassunk meg egy szabályos hatszöget a szimmetriatengelyei körül. Hogyan aránylanak egymáshoz a keletkező forgástestek felszínei?

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A szabályos hatszögnek kétféle szimmetriatengelye van.

Először tekintsük azt, amelyik két szemközti oldal felezőpontján megy át. Ezen tengely körül forgatva a hatszöget két egybevágó csonkakúp keletkezik. A kérdéses felszín két csonkakúp-palást felszínéből és két kör területéből áll (az alapkör területét nem kell figyelembe venni).

Legyen a hatszög oldala egységnyi, ekkor a fedőkör sugara \(\displaystyle r=\frac{1}{2}\), az alapkör sugara \(\displaystyle R=1\), a csonkakúp alkotója \(\displaystyle a=1\). A fedőkör területe \(\displaystyle \frac{1}{4}\,\pi\), a csonkakúp palást területe \(\displaystyle \frac{3}{2}\,\pi\).

A keresett felszín:

\(\displaystyle F_1=2\cdot \frac{1}{4}\,\pi+ 2\cdot \frac{3}{2}\,\pi= \frac{7}{2}\,\pi. \)

A másik esetben a szimmatriatengely a hatszög két szemközti csúcsán megy át. Ekkor a forgatáskor két egybevágó kúp és egy henger jön létre.

Tekintsük az \(\displaystyle ABC\) egyenlőszárú háromszöget. Az \(\displaystyle AC\) felezőpontja legyen \(\displaystyle D\). A \(\displaystyle BDC\) háromszög egy 1 egység oldalú szabályos háromszög fele, ezért \(\displaystyle r=\frac{\sqrt{3}}{2}\).

A felszín a két kúppalást és a hengerpalást területének összege:

\(\displaystyle T_{\text{kúpok}} = 2r\pi a= 2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\,\pi\cdot 1= \sqrt{3}\,\pi,\)

\(\displaystyle T_{\text{henger}} = 2r\pi m= \sqrt{3}\, \pi.\)

A két felszín összege \(\displaystyle F_2= 2\sqrt{3}\,\pi\).

A felszínek aránya:

\(\displaystyle \frac{F_1}{F_2}= \frac{\frac{7}{2}\,\pi}{2\sqrt{3}\, \pi}= \frac{7}{4\sqrt{3}}\approx 1{,}0104. \)

A két forgástest felszíne közelítőleg egyenlő.

Keceli-Mészáros Emese (Budapest, Szent István Gimn., 9. évf.)

Statisztika:

163 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	94 versenyző.
4 pontot kapott:	21 versenyző.
3 pontot kapott:	17 versenyző.
2 pontot kapott:	15 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2010. áprilisi matematika feladatai