A C. 1038. feladat (2010. május)

C. 1038. Legyen a valós számok halmazán értelmezett függvény hozzárendelési szabálya a következő:

Oldjuk meg a egyenletet a valós számok halmazán.

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A \(\displaystyle \mathop{\rm lac}\, (x)\) függvény minden \(\displaystyle [2n;2n+1]\) (ahol \(\displaystyle n\in \mathbb{Z}\)) intervallumban megegyezik az \(\displaystyle f(x)=x\) függvénnyel, míg minden egyéb \(\displaystyle \left]2n+1;2n+2\right[\) intervallum képe a \(\displaystyle {g(x)=-x}\) egyenessel párhuzamos, a

\(\displaystyle \left(2n+\frac{3}{2};2n+\frac{3}{2}\right) \)

pontra szimmetrikusan illeszkedő nyílt szakasz (lásd ábra).

A \(\displaystyle \mathop{\rm lac}\, (x)\) függvény tehát egy kölcsönösen egyértelmű függvény (azaz minden \(\displaystyle x\) értékhez egyetlen \(\displaystyle \mathop{\rm lac}\, (x)\) függvényérték tartozik és fordítva). Ebből a következik, hogy \(\displaystyle \mathop{\rm lac}\, (2x^2+x+4)=\mathop{\rm lac}\, (x^2+7x-1)\) akkor és csak akkor teljesülhet, ha \(\displaystyle 2x^2+x+4=x^2+7x-1\) is teljesül. Az egyenletet rendezve:

\(\displaystyle x^2-6x+5=0. \)

Ebből: \(\displaystyle x_1 =1\), \(\displaystyle x_2 =5\).

Tehát két megoldása van az eredeti egyenletnek.

Neumer Tamás (Budapest, Eötvös József Gimn., 11. évf.)

Statisztika:

70 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	56 versenyző.
4 pontot kapott:	1 versenyző.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2010. májusi matematika feladatai