A C. 1045. feladat (2010. október)

C. 1045. Dobjunk három szabályos dobókockával. Írjuk fel egymás mellé tetszőleges sorrendben a dobott pöttyök számát. Ugyanilyen sorrendben folytassuk az írást az alsó lapon látható pöttyök számával. Igazoljuk, hogy az így kapott hatjegyű szám és a 111 hányadosát 7-tel csökkentve, és ezt a különbséget 9-cel osztva olyan háromjegyű számot kapunk, amelynek a számjegyei a dobott pöttyök számát adják.

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Felhasználjuk azt a tényt, hogy egy szabályos dobókocka bármely lapján és a vele szemközti lapon levő pöttyök összege 7. Ezért, ha a dobások valamilyen sorrendben \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\), akkor a lejegyzett hatjegyű szám \(\displaystyle \displaystyle{N=\overline{abc(7-a)(7-b)(7-c)}}=100000a+10000b+1000c+100(7-a)+10(7-b)+7-c=99900a+9990b+999c+777 \). A feladat szerint \(\displaystyle \displaystyle{\frac N{111}-7=900a+90b+9c+7-7=9\overline{abc}}\). A különbséget 9-cel osztva végeredményül \(\displaystyle \displaystyle{\overline{abc}}\)-t kapunk, ami valóban egy olyan háromjegyű szám, melynek számjegyei a dobott pöttyök számai.

Statisztika:

357 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	337 versenyző.
4 pontot kapott:	3 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2010. októberi matematika feladatai