A C. 1051. feladat (2010. november)

C. 1051. Két egymást követő négyzetszám között kiválasztjuk az n természetes számot. n-ből k-t kivonva a kisebbik, l-t hozzáadva a nagyobbik négyzetszámot kapjuk.

Bizonyítsuk be, hogy n-kl négyzetszám.

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A két egymást követő négyzetszám legyen \(\displaystyle x^2\) és \(\displaystyle (x+1)^2\). Így a feladat szerint \(\displaystyle n, k, l\)-re \(\displaystyle x^2+k=n\) és \(\displaystyle n+l=(x+1)^2\). Kifejezve \(\displaystyle k\)-t és \(\displaystyle l\)-t \(\displaystyle k=n-x^2\) és \(\displaystyle l=(x+1)^2-n\) a vizsgálandó kifejezés \(\displaystyle n-kl=n-(n-x^2)((x+1)^2-n)=n-(n(x+1)^2)-n^2-x^2(x+1)^2+nx^2)=n-n(2x^2+2x+1)+n^2+(x(x+1))^2=(x(x+1)-n)^2\), ami valóban négyzetszám.

Statisztika:

210 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	168 versenyző.
4 pontot kapott:	22 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2010. novemberi matematika feladatai