A C. 1070. feladat (2011. március)

C. 1070. Egy szám n alapú számrendszerben felírt alakja 2011, az (n+3) alapú számrendszerben pedig 537. Melyik ez a szám?

(5 pont)

A beküldési határidő 2011. április 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A keresett szám \(\displaystyle N=2011_n=537_{n+3}\), amiből következik, hogy \(\displaystyle n+3\ge 8\), azaz \(\displaystyle n\ge 5\). A számrendszerekben felírt alakokból \(\displaystyle N\) értéke \(\displaystyle 2n^3+n+1=5(n+3)^2+3(n+3)+7\), amit átrendezve kapjuk a \(\displaystyle 2n^3-5n^2-32n-60=0\) (1.) egyenletet. Az biztos, hogy \(\displaystyle n\) páros, mert \(\displaystyle 5n^2=2(n^3-16n-30)\) egyenletben a jobb oldal osztható 2-vel, ezért a balnak is oszthatónak kell lennie. Másrészről, ha \(\displaystyle \alpha\) pozitív egész megoldása az (1.) egyenletnek, akkor a bal oldal szorzattá bontható: \(\displaystyle (n-\alpha)(2n^2+\beta n-\frac{60}{\alpha})\), tehát biztos, hogy \(\displaystyle \alpha\) osztója 60-nak. (1.) megoldása(i) csak a 6, 10, 12, 20, 30, 60 közül kerülhet ki. Másrészről \(\displaystyle 2n^3<N<6(n+3)^2\), azaz \(\displaystyle n^3<3n^2+18n+27\). Ha \(\displaystyle n\ge 6\), akkor \(\displaystyle 3n^2+18n+27<7n^2\) teljesül (ugyanis \(\displaystyle 18n+27=3\cdot 6n+27<3n^2+n^2=4n^2\), ha \(\displaystyle n\ge 6\)), ami szerint \(\displaystyle n<7\). A feltételeket egybevéve \(\displaystyle n=6\) maradt, mint lehetséges megoldás. Az (1.) egyenletbe helyettesítve valóban egyenlőséget kapunk, ezért az \(\displaystyle N\) számot 6-os, majd 9-es alapú számrendszerben írtuk fel: \(\displaystyle N=5\cdot 81+3\cdot 9+7=2\cdot 216+6+1=\mathbf{439}\).

Statisztika:

190 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	107 versenyző.
4 pontot kapott:	24 versenyző.
3 pontot kapott:	44 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2011. márciusi matematika feladatai