A C. 1072. feladat (2011. március)

C. 1072. Bizonyítsuk be, hogy minden derékszögű háromszög beírt körének sugara kisebb, mint a hosszabbik befogó háromtizede.

(5 pont)

A beküldési határidő 2011. április 11-én LEJÁRT.

A derékszögű háromszög oldalainak hossza legyen \(\displaystyle a\le b<c\), a beírt kör sugara pedig \(\displaystyle r\). Ismert az összefüggés közöttük: \(\displaystyle a+b=c+2r\).

1. megoldás Tegyük fel, hogy \(\displaystyle r\ge\frac3{10}b\). Ekkor \(\displaystyle \frac{a+b-c}2\ge\frac3{10}b\), azaz \(\displaystyle a+\frac25 b \ge c\), ahonnan (tekintve, hogy poziív kifejezésekről van szó) \(\displaystyle a^2+\frac45 ab + \frac4{25}b^2 \ge c^2=a^2+b^2\). Innen (\(\displaystyle b\ne 0\)) \(\displaystyle a\ge\frac{21}{20}b>b\), ami ellentmond feltételünklnek, azaz \(\displaystyle r<\frac3{10}b\).

2. megoldás \(\displaystyle r=\frac{a+b-c}2=\frac{a+b}2-\frac{\sqrt{a^2+b^2}}2=\frac{a+b}2-\frac1{\sqrt2}\sqrt{\frac{a^2+b^2}2}\). Használjuk két nemnegatív szám számtani és négyzetes közepe közötti egyenlőtlenséget: \(\displaystyle r\le \frac{a+b}2-\frac1{\sqrt2}\frac{a+b}2\le b\left(1-\frac1{\sqrt2}\right)<\frac3{10}b\).

Statisztika:

124 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	64 versenyző.
4 pontot kapott:	21 versenyző.
3 pontot kapott:	26 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2011. márciusi matematika feladatai