A C. 1082. feladat (2011. május)

C. 1082. Egy hatjegyű szám első számjegyét áthelyezzük a szám végére, majd az így kapott hatjegyű szám első számjegyét ismét áthelyezzük a szám végére. Így egy olyan hatjegyű számot kapunk, amely az előbbinek háromszorosa, az eredetinek pedig -szöröse. Melyik az eredeti hatjegyű szám?

(5 pont)

A beküldési határidő 2011. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A hatjegyű számot maradékosan osztva 10000-rel kapjuk az \(\displaystyle n\) (\(\displaystyle 99\ge n\ge 11\)) hányadost és \(\displaystyle m\) maradékot. A feladat második feltétele szerint \(\displaystyle 100m+n=\frac 35 (10000n + m)\), ahonnan \(\displaystyle 500m+5n=30000n+3m\), azaz \(\displaystyle 497m=29995n\), melyet egyszerűsítve \(\displaystyle 71m=4285n\). Mivel 71 és 4285 relatív prímek, ezért 71 osztója \(\displaystyle n\)-nek: \(\displaystyle n=71\) a feltétel szerint, és ezért \(\displaystyle m=4285\). A lehetséges eredeti hatjegyű szám a 714 285. Ellenőrizzük a feladat első részét: a 7 áthelyezésével kapjuk a 142 857-t, majd a \(\displaystyle 428\ 571=3\cdot 142\ 857\). Az eredetileg gondolt hatjegyű szám a 714 285 volt.

Statisztika:

100 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	91 versenyző.
4 pontot kapott:	2 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2011. májusi matematika feladatai