 |
A C. 1084. feladat (2011. május) |
C. 1084. Az y2=4x egyenletű parabola húrját a P(8;4) pont 1:4 arányban osztja. Adjuk meg a húr végpontjainak a koordinátáit.
(5 pont)
A beküldési határidő 2011. június 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen a parabola \(\displaystyle AB\) húrjának osztópontja a \(\displaystyle P(8,\ 4)\). Ekkor az \(\displaystyle A(a_1,\ a_2)\) és \(\displaystyle B(b_1,\ b_2)\) koordinátákra fennállnak a következő összefüggések (a parabola egyenlete szerint és az osztópont koordinátáira vonatkozó összefüggés szerint):
\(\displaystyle a_2^2=4a_1, \qquad b_2^2=4b_1,\)
\(\displaystyle \frac{4a_1 + b_1}{5}=8,\qquad \frac{4a_2 + b_2}{5}=4.\)
A (3.)-ba használjuk az első két összefüggést: \(\displaystyle a_2^2 + \frac{b_2 ^2}{4}=40\), illetve a (4.)-ből \(\displaystyle b_2=20-4a_2\). Ez utóbbit behelyettesítve kapjuk az \(\displaystyle a_2^2 + (10-2a_2)^2=40\) egyenletet, amit rendezve \(\displaystyle a_2^2 -8a_2 +12=0\) másodfokú egyenletet kapjuk, melynek megoldásai a 6 és 2. Tehát két húr van, melynek 1:4 arányú osztópontja \(\displaystyle P\). Visszahelyettesítések után kapjuk az \(\displaystyle A_1(1,\ 2)\), \(\displaystyle B_1(36,\ 12)\) húrt (\(\displaystyle A_1\) van \(\displaystyle P\)-hez közelebb) és az \(\displaystyle A_2(9,\ 6)\), \(\displaystyle B_2(4,\ -4)\) húrt (\(\displaystyle A_2\) van \(\displaystyle P\)-hez közelebb).
Statisztika:
79 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 56 versenyző. 4 pontot kapott: 2 versenyző. 3 pontot kapott: 8 versenyző. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2011. májusi matematika feladatai