A C. 1085. feladat (2011. szeptember)

C. 1085. Adott n darab pénzérme írással felfelé. Minden egyes lépésben n-1 darabot megfordítunk. Elérhető-e, hogy mindegyik érmén a fej legyen felül?

(5 pont)

A beküldési határidő 2011. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. 1. eset: \(\displaystyle n\) páros szám. Ekkor elérhető, hogy mindegyik érmén fej legyen felül. Az algoritmus a következő: Egymás mellé rakva az érméket, számozzuk meg őket 1-től \(\displaystyle n\)-ig. Az 1. lépésben fordítsuk meg a 1., 2., ..., \(\displaystyle n-1\). érmét. A 2. lépésben fordítsuk meg a 2., 3., ..., \(\displaystyle n.\) érmét. És így tovább, a \(\displaystyle k\). (\(\displaystyle 3\leq k\leq n\)) lépésben fordítsuk meg az \(\displaystyle 1\)., \(\displaystyle 2\).,..., \(\displaystyle k-2\)., \(\displaystyle k\)., \(\displaystyle k+1.\),..., \(\displaystyle n-1\)., \(\displaystyle n\). érmét.

A végén minden érmét pontosan \(\displaystyle n-1\)-szer fordítottunk meg (\(\displaystyle k<n\) esetén a \(\displaystyle k\). érmét csak a \(\displaystyle k+1\). lépésben nem fordítottuk meg, az \(\displaystyle n\). érmét pedig csak az első lépésben). Mivel \(\displaystyle n-1\) páratlan szám, így a végén minden érmén a fej lesz felül.

2. eset: \(\displaystyle n\) páratlan szám. Ekkor nem érhető el, hogy minden érmén fej legyen felül. Hiszen ha bizonyos számú lépés után minden érmén fej lenne, akkor ez azt jelentené, hogy mindegyik érmét páratlan sokszor fordítottuk meg. Mivel páratlan számú érménk van, ez összesen páratlan számú fordítást jelent. Ez viszont lehetetlen, mert minden lépésben páros számú érmét fordítunk.

Szilágyi Krisztina (Újvidék, Jovan Jovanovic Zmaj Gimn., 9. o. t.)

Statisztika:

438 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	198 versenyző.
4 pontot kapott:	41 versenyző.
3 pontot kapott:	74 versenyző.
2 pontot kapott:	39 versenyző.
1 pontot kapott:	52 versenyző.
0 pontot kapott:	31 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2011. szeptemberi matematika feladatai