A C. 1088. feladat (2011. szeptember)

C. 1088. Egy derékszögű háromszög alapú egyenes hasáb minden élének hossza egész szám. A hasábnak van 30 és 13 területű lapja. Mekkora a térfogata?

(5 pont)

A beküldési határidő 2011. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A derékszögű háromszög alapú egyenes hasábnak öt lapja van: két darab egybevágó háromszög (az alaplapok), a palástot pedig három téglalap alkotja. A hasáb magasságát jelölje \(\displaystyle m\), a háromszög oldalai pedig legyenek \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\), ahol \(\displaystyle a<b<c\), tehát \(\displaystyle c\) a háromszög átfogója.

Ekkor a hasáb lapjainak területe rendre: \(\displaystyle \frac{ab}2\), \(\displaystyle am\), \(\displaystyle bm\) és \(\displaystyle cm\).

A hasáb térfogata egyenlő az alaplap területének és a hasáb magasságának szorzatával: \(\displaystyle V=\frac{abm}2\).

Tudjuk, hogy \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle m~\in Z\), illetve a négy különböző terület közül az egyik 13, a másik 30.

Mivel 13 prímszám, ezért két eset lehetséges.

I) \(\displaystyle \frac{ab}2=13\);

II) \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) közül legalább egynek a hossza 1, és \(\displaystyle m=13\), vagy fordítva: \(\displaystyle m=1\) és \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) vagy \(\displaystyle c\) pedig 13.

Vizsgáljuk meg mindkét esetet.

I) \(\displaystyle \frac{ab}2=13\), ekkor \(\displaystyle ab=26\). \(\displaystyle 26\)-nak négy pozitív egész osztója van: 1, 2, 13 és 26, vagyis vagy \(\displaystyle a=1\) és \(\displaystyle b=26\), vagy \(\displaystyle a=2\) és \(\displaystyle b=13\). Egyik esetben sem lesz \(\displaystyle c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) egész szám, tehát \(\displaystyle ab \ne 26\).

II) \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) pitagoraszi számhármast alkotnak. Az 1 nem tagja egy pitagoraszi számhármasnak sem. Tehát \(\displaystyle m=1\). Ebből következik, hogy a háromszög egyik oldalának hossza 13 egység. Függvénytáblázatban láthatjuk, hogy 13 kettő pitagoraszi számhármasnak is tagja. Az egyik számhármas az 5, 12, 13, a másik pedig a 13, 84, 85. Az első számhármas megfelelő: \(\displaystyle \frac{5\cdot12}{2}=30\). A második számhármas esetén azonban nem keletkezik 30 egységnyi területű lap.

Azt kaptuk, hogy: \(\displaystyle a=5\), \(\displaystyle b=12\), \(\displaystyle c=13\) és \(\displaystyle m=1\).

Az élek ismeretében már megadható a hasáb térfogata:

\(\displaystyle V=\frac{ab}2 \cdot m=30.\)

A hasáb térfogata tehát 30 egység.

Cseppentő Bence (Szolnok, Varga Katalin Gimn., 11. o. t.)

Statisztika:

452 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	206 versenyző.
4 pontot kapott:	85 versenyző.
3 pontot kapott:	48 versenyző.
2 pontot kapott:	32 versenyző.
1 pontot kapott:	43 versenyző.
0 pontot kapott:	31 versenyző.
Nem versenyszerű:	7 dolgozat.

A KöMaL 2011. szeptemberi matematika feladatai