 |
A C. 1091. feladat (2011. október) |
C. 1091. Az ötöslottóban az egyik játékhéten a nyerőszámok emelkedő számsorrendben a következők: ,
,
,
,
. Az öt szám összege
, a harmadik és a második szám szorzata
, a harmadik és az ötödik szorzata pedig
. Határozzuk meg az a, b, c, d, e számjegyeket.
(5 pont)
A beküldési határidő 2011. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A növekvő számok miatt \(\displaystyle a<b<d\) és \(\displaystyle b<c\). A szorzatokat nézve \(\displaystyle \overline{bc}\cdot \overline{ca} = \overline{bbec}\) és \(\displaystyle \overline{ca}\cdot \overline{cd} = \overline{eccd}\) szerint az utolsó számjegyekből (és hozzátéve, hogy \(\displaystyle a\ne d\)) \(\displaystyle a=1\) lehet csak. Az öt szám összege legfeljebb \(\displaystyle 5 \cdot 99=495\) lehet, ami miatt \(\displaystyle b\le 4\), másrészről az összeg -tízes számrendszer szerint- \(\displaystyle 11a+12b+31c+d=100b+11c\). Átrendezve \(\displaystyle 88b-11=d+20c\le 189\) miatt \(\displaystyle b\le 2\), ezért \(\displaystyle b=2\).. Így \(\displaystyle d+20c=165\), ahol \(\displaystyle d+20c\) utolsó számjegye \(\displaystyle d=5\). Innen \(\displaystyle c=8\). Tehát \(\displaystyle 28\cdot 81=2268\), ahonnan \(\displaystyle e=6\). A számjegyek tehát \(\displaystyle \mathbf{a=1,\ b=2,\ c=8,\ d=5,\ e=6}\). Ellenőrzésképpen a kihúzott számok sorban 12, 28, 81, 82 és 85; a harmadik és ötödik szorzata \(\displaystyle 81\cdot 85=6885\).
Statisztika:
317 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 177 versenyző. 4 pontot kapott: 60 versenyző. 3 pontot kapott: 36 versenyző. 2 pontot kapott: 13 versenyző. 1 pontot kapott: 20 versenyző. 0 pontot kapott: 6 versenyző. Nem versenyszerű: 5 dolgozat.
A KöMaL 2011. októberi matematika feladatai