A C. 1092. feladat (2011. október)

C. 1092. Az AB szakasz belső pontja C. Szerkesszünk az AC és BC szakaszokra szabályos háromszögeket az AB egyik oldalán, majd szerkesszünk szabályos háromszöget az AB szakaszra a másik oldalán. Bizonyítsuk be, hogy a háromszögek súlypontjai egy szabályos háromszög csúcsai.

(5 pont)

A beküldési határidő 2011. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az \(\displaystyle AC\) hossza legyen \(\displaystyle a'\), a \(\displaystyle CB\) hossza legyen \(\displaystyle b'\) (akkor \(\displaystyle AB=a'+b'\)); a szabályos háromszögek középpontjai \(\displaystyle F\), \(\displaystyle G\), \(\displaystyle H\); az \(\displaystyle AB\) oldalú másik szabályos háromszögé pedig \(\displaystyle H'\). Jelölje \(\displaystyle AF=\frac{\sqrt 3}3 a'=a\), \(\displaystyle BG=\frac{\sqrt 3}3 b'=b\) illetve \(\displaystyle AH=\frac{\sqrt 3}3 (a'+b')=a+b\). Mivel \(\displaystyle AF\), \(\displaystyle AH\), \(\displaystyle BG\) és \(\displaystyle BH\) szögfelezők, ezért \(\displaystyle FAH\sphericalangle = HBG\sphericalangle = 60^\circ\), továbbá \(\displaystyle GH'F\sphericalangle = 120^\circ\). Koszinusz-tételt írjuk fel ezekre a szögekre: \(\displaystyle FH^2=a^2+(a+b)^2-2a(a+b)\cdot \frac 12=a^2 + ab + b^2=b^2+(a+b)^2-2\cdot \frac12 b(a+b)=BG^2\), továbbá \(\displaystyle FG^2=a^2 + b^2 -2ab\cdot \left(\frac 12 \right)=a^2 + b^2 + ab\). Hosszakról lévén szó \(\displaystyle FH=HG=GF\), azaz valóban szabályos háromszöget kaptunk.

II. mo. \(\displaystyle AFH\) és \(\displaystyle H'GH\) háromszögek egybevágóak, mert két oldalukban és a közbezárt szögben megegyeznek (\(\displaystyle a\), \(\displaystyle a+b\) és \(\displaystyle 60^\circ\)), másrészről egy \(\displaystyle H\) középpontú, \(\displaystyle -60^\circ\)-os forgatás viszi az elsőt a másodikba: \(\displaystyle FH\) és \(\displaystyle GH\) \(\displaystyle 60^\circ\)-os szöget zárnak be egymással és \(\displaystyle HF=HG\). Az \(\displaystyle FHG\) háromszög valóban szabályos.

Statisztika:

243 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	140 versenyző.
4 pontot kapott:	44 versenyző.
3 pontot kapott:	14 versenyző.
2 pontot kapott:	14 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	18 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2011. októberi matematika feladatai